数Ⅱ 三角関数 問 0≦θ<2πのとき,方程式2cos2θ+4cosθ+3-α=0の解の個数を,定数

数Ⅱ 三角関数

問 0≦θ<2πのとき,方程式2cos2θ+4cosθ+3-α=0の解の個数を,定数αの値の範囲によって調べよ。

解答
方程式を変形すると
2(2cos²θ-1)+4cosθ+3-α=0
よって 4cos²θ+4cosθ+1=α
y=4cos²θ+4cosθ+1, cosθ=tとおくと
y=4t²+4t+1=4(t+1/2)² ………①
また -1≦t≦1
-1≦t≦1における,
関数①のグラフと直線y=αの共有点の個数を
調べると,
α<0,9<αのとき 0個
α=0,1<α<9のとき
-1<t<1の範囲に1個
0<α<1のとき
-1<t<1の範囲に2個
α=1のとき
-1<t<1の範囲に1個と,
t=-1のときの1個
α=9のとき
t=1のときの1個
cosθ=t(0≦θ<2π)の解の個数は
t=±1のとき1個,-1<t<1のとき2個であるから,
求める解の個数は
α<0のとき0個,α=0のとき2個,
0<α<1のとき4個,α=1のとき3個,
1<α<9のとき2個,α=9のとき1個,
9<αのとき0個

･なぜ関数①のグラフと直線y=αの共有点の個数を
調べると答えが求められるのか？

･調べるとなぜこのようになるのか？
が分かりません。。
分からなくて困っているの教えて下さい！お願いします☺︎

質問者からの補足コメント

• たくさんの回答ありがとうございます☺︎
  しかし私の勉強不足で「cosθ=t(0≦θ<2π)の解の個数はt=±1のとき1個,-1<t<1のとき2個であるから〜」からがまだよく分かりません。
  t=±1のとき1個は多分理解出来たのですが、-1<t<1のとき2個になるのはなぜかが分かりません。できれば図などで教えて頂くとありがたいです！
  また、「0<α<1のとき-1<t<1の範囲に2個」と出たのになぜ最後の答えでは4個になっているのはなぜですか？
  本当に初歩的な問題かも知れませんが細く教えて欲しいです。お願いいたします☺︎

    補足日時：2020/08/21 22:17

No.4 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2020/08/21 23:07

y=4t^2+4t+1=4(t+1/2)^2 但し －1≦t≦1 のグラフは添付の赤実線の通り。

これとにらめっこしながら解説。

その赤実線とy＝aの交点を調べてみる。
例えば、α＝－1/2の場合、下の実線だが、この場合は交点がない。
例えば、α＝0（つまりx軸）の場合、交点は１つとなる。
例えば、α＝1/2の場合、交点は２つある。
例えば、α＝9/2＝4.5の場合、交点は１つある。
例えば、α＝10の場合、交点はない。
これをまとめると、
－－－－－－－－－－
α<0,9<αのとき 0個
α=0,1<α<9のとき
-1<t<1の範囲に1個
0<α<1のとき
-1<t<1の範囲に2個
α=1のとき
-1<t<1の範囲に1個と,
t=-1のときの1個
α=9のとき
t=1のときの1個
－－－－－－－－－－
となるのだが、私はこう書きたい。
－－－－－－－－－－
α＜0のとき、ｔはない。
α＝0のとき、tは１つある。
0＜α≦1のとき、tは２つある。
1＜α≦9のとき、tは１つある。
9＜αのとき、tはない。
－－－－－－－－－－
ただ、実際求めたいのはtではなくてθなのだから、0≦θ<2πの範囲で各々吟味する。
－－－－－－－－－－
α＜0のとき、ｔはない。ということは、そんなθもない。
α＝0のとき、tは１つあってt＝－1/2。→cosθ＝－1/2→θ＝(2/3)π、(4/3)πと２つある。
0＜α＜1のとき、tは２つある。その一つは －1＜cosθ＜－1/2 であり、もう一つは－1/2＜cosθ＜0 である。その各々に対して解となるθは2つずつある(※これは単位円を描いてみるとよくわかる。)ので、θは４つあることになる。
α＝1のとき、t＝－1、0となる。t＝－1→cosθ＝－1→θ＝π、t＝0→cosθ＝0→θ＝(1/2)π、(3/2)πの３つ。
1＜α＜9のとき、tは１つある。それは0＜cosθ＜1を意味しているので、θは２つ存在することになる。
α＝9のとき、tは１つある。それは、cosθ＝1を意味しているので、θ＝0となる(１つ存在する）。
9＜αのとき、tはない。

以上をまとめると、
－－－－－－－－－－
α＜0のときは0こ
α＝0のときは２つ
0＜α＜1のときは４つ
α＝1のときは３つ
1＜α＜9のときは２つ
α＝9のときは１つ
9＜αのときは0こ
－－－－－－－－－－
となる。

この回答へのお礼

なるほど！とても分かりやすい解説ありがとうございます☺︎最初は全く理解できませんでしたがやっと分かりました✧グラフもありがとうございました！とても分かりやすかったのでベストアンサーに選ばさせてもらいます☺︎

お礼日時：2020/08/22 10:36

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/21 19:33

2cos(2θ) + 4cosθ + 3 - α = 0 は、 cosθ = t と置くと

4(t + 1/2)² = α と変形できる。 これがほぼ全て。

この式を満たす t の個数は、y = 4(t + 1/2)² かつ y = α
を満たす点 (t,y) の個数と同じなので、
y = 4(t + 1/2)² と y = α のグラフの交点で考えることができる。

ただし、 t の値が ±1 かどうかはチェックする必要があり、
t = ±1 については、その t に対応する θ が 1 個、
t ≠ ±1 については、その t に対応する θ が ２ 個ある。
この部分は、y = cosθ のグラフを思い浮かべて
t の各値について y = cosθ と y = t の交点 (θ,y) を
考えれば判ると思う。

以上を集計すれば、質問文中の解答のようになる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
助かりました☺︎

お礼日時：2020/08/22 10:37

No.2 回答者： まつ7750 回答日時： 2020/08/21 15:00

簡単です。

4cos²θ+4cosθ+1=α　ということはf(t)=4t~2+4t+1のグラフとf(t)=αグラフの交点が解となるということです。その交点の数を調べればいいだけです。当然-1＜＝ｔ＜＝1です。
f(t)=4(t+1/2)² のグラフを書いてf(t)=αとの交点の数を場合分けして調べてみればわかると思います。頑張ってやってみて下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
助かりました☺︎

お礼日時：2020/08/22 10:37

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/21 15:00

-1≦t≦1からy=4t²+4t+1=4(t+1/2)² で０≦ｙ≦９

y=4cos²θ+4cosθ+1・・・①
ｙ＝α・・・②
①と②の交点は０≦ｙ≦９に存在すると言うこと。
それを4(t+1/2)²＝αでαの範囲とｔの範囲で探っています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
助かりました☺︎

お礼日時：2020/08/22 10:38