三角形の角度と面積

AB=AC=AD=3, BC=CD=DB=2 の四面体ABCDにおいて
辺BCの中点をMとする。
このとき、次の値を求めなさい

１　cos∠AMD

２　△AMDの面積

自分でやってみたところ、
１の答えが7/16 ２の答えが(3√23)/16になってしまいました
多分間違っていると思うので正しい解き方と答えを教えてくださいm(__)m

ちなみに１の解き方は
直角三角形ABMにおいて
AB=3,BM=1
三平方の定理により
AM=2√2
またAM=MDであるから
MD=2√2
予言定理を使い
cos∠AMD={(2√2)^2+(2√2)^2-3^2/(2*2√2*2√2)=7/16

２は
sin∠AMD=√{1-(7/16)^2} = √(49/256) = (3√23)/16

No.2 ベストアンサー 回答者： shiroha 回答日時： 2010/01/06 06:18

１）cos∠AMD　について

まず、AM=2√2は正解です。
つぎに、三角形BCDの面を底面にし点Ａを上部に置いたと想像してください。そして、それを真上からみると、Ａは三角形BCDの重心にいます。（これ、わかりますか？）
この三角形BCDの重心をGとします。
なので、MDは√３ですので、MGは√3/３になります。
よって、
cos∠AMD　＝AM/MG　＝　2√2/（√3/３）＝２√６

２）△AMDの面積
AM^2＝MG^2＋AG^2なので
（AM=2√2/、MG=√3/３）
AG=√69/３
よって面積は
MDxAG/2＝√3x√69/３/2＝√23/2

かなぁ？

No.3 回答者： debut 回答日時： 2010/01/06 12:10

ＡＭ＝２√２

ＭＤ＝√３（１辺2cmの正三角形の高さです）
余弦定理から、
cos(∠ＡＭＤ)＝(8+3-9)/(2*2√2*√3)=(√6)/12

sin^2(∠ＡＭＤ)＝１－6/144＝138/144より、
sin(∠ＡＭＤ)＝(√138)/12
よって△ＡＭＤの面積は、(1/2)*2√2*√3*(√138)/12＝(√23)/2

です。

No.1 回答者： kurofusa 回答日時： 2010/01/06 03:43

手元に紙とペンがないので答えまではだしませんが、1の解答のMDの長さが違いませんか？

△BCDは正三角形、△ABCは二等辺三角形ですよ？

この回答へのお礼

おお！そうでした！
ちょっと計算し直してきます～

お礼日時：2010/01/06 03:52