放物線の接線の角度について

自分でいろいろと式変形を試みたものの結局解決しなかったので、分かる方がいれば教えてください。
考えようとしているのは物体の斜方投射に関係した問題です。

XY平面上に次式で表される、下に凸の原点O(0, 0)を通る放物線Cがあるとします（αは原点Oにおける接線の角度です）。
C：　y = kx^2/cos^2α + x tanα

そして放物線Cの原点における傾きによってその傾きが決まる、正の傾きを持った次式で表される直線Lを考えます。
L：　y = x tan(α + β)

ただし直線Lは原点Oの他に放物線C上の地点Pで交わるものとします。
ここでO-P間の距離がrとなるとき、αの値はどうすれば求められるでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2010/01/18 00:24

　「斜方投影」ってなんとなく面白そうですが、何をなさってるのかはさっぱり分かりません。

でも、ご質問は記号を整理すれば難しくない。
a=tanα
b=tan(α+β)
c=k/cosα
と書くことにすると、
C: y=c(x^2)+a x
L: y=b x
　CとLの交点Pの座標はこれらの連立方程式を解けば計算でき、原点からPまでの距離rは
(r^2)=((b-a)^2)(1+b^2)/(c^2) …(1)
になるはず。
　さらに、tanβをTと書くことにすると、三角関数の性質を使って
b=tan(α+β)=(a+T)/(1-aT)
(c^2)=(k/cosα)^2=(k^2)(1+a^2)
である。(1)にこれらを代入すると、aの4次方程式ができる。(でも、これは(a^2)に関する2次方程式になってるんじゃないかと思う。)定数T=tanβ, k, rを与えるとこの方程式は解けて(もし4次方程式なら数値的に解くことになるが)、aのarctangentがα。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なんとかtanαの4次方程式に展開することができました（c=k/cosαではなくc=k/cos^2(α)ですね）。
展開後の式はtan^2(α)の2次方程式にはならないようですが、これはだいたい予想通りでした。

ちなみに斜方投影ではなく斜方投射で、式Cはある速さで物体を投げた場合の投射角と放物線軌道の関係式に対応するものです。

お礼日時：2010/01/20 20:59