至急！１対１対応の演習 ベクトル

△ABCの辺ABの中点をD、辺ACの中点をEとする。直線DE上の点Pが
xPA→+yPB→+zPC→=0→（xyz≠0）を満たしているとき、
（１）x,y,zの間に成り立つ関係式を求めよ。
始点をAとする。-xAP→+y（AB→-AP→）+z（AC→-AP→）=0→により、
（x+y+z）AP→=yAB→+zAC→
x+y+z=0とすると、yAB→+zAC→=0→でy=z=0となり、反する。
よって、AP→=y/x+y+z×AB→+z/x+y+z×AC→・・・(1)
で、これによって定まる点Pが直線DE上にあるための条件は、
y/（x+y+z）+ z/（x+y+z）=1/2
⇔2（y+z）=x+y+z
xPA→+yPB→+zPC→=0→と始点が最初からPと分かっているのになんでわざわざAを始点と置くのかが分かりません。
高１で独学ですので誰か分かりやすく教えてください。
お願いします＞＜；
よってy+z=x
「これによって定まる点Pが直線DE上にあるための条件は、
y/（x+y+z）+ z/（x+y+z）=1/2
⇔2（y+z）=x+y+z
よってy+z=x」
この部分が良く分かりません。（どうしてそういう考え方になるのか。また計算過程が分かりません。。）
また、この問題は初めから始点がPと分かっているのにどうしてわざわざ始点をAとおくのかがわかりません。常套手段なのでしょうか？
高１で独学でやっているので分かりやすい解説お願いしますm（_　_）m

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/02/10 14:30

こんにちわ。

ベクトルはコツがつかめると、意外とやさしくなるのでがんばってくださいね。

＞始点が最初からPと分かっているのになんでわざわざAを始点と置くのかが分かりません。
PA→や PB→などのベクトルは、「始点」が点Pとなっています。
いまの問題において、点Aは位置ベクトルの「原点」として考えています。
点Pは「動く点」なので、「原点」にはしないのです。

＞よってy+z=x」
＞この部分が良く分かりません。（どうしてそういう考え方になるのか。また計算過程が分かりません。。）
「内分点に関する式」を見るとわかるのですが、考え方も含めて少し以下に記しておきます。
AP→を別の表し方をすることを考えます。
原点Aから点Pに到達する方法として、
「点A→点Dに向かい、DE→に沿っていくらか進む」と考えます。
DE→に沿っていくらか進むは、「DE→のある定数倍だけ進む」と考えます。
式に表すと、AP→= AD→+ t* DE→（tは定数）となります。
AD→= 1/2* AB→
DE→= DA→+ AE→= -1/2* AD→+ 1/2* AC→

これらを代入すると、
AP→= 1/2* { (1-t)AB→+ tAC→ } ・・・(※)

と表すことができます。
AB→と AC→の係数を比較すると
1/2* (1-t)= y/(x+y+z), 1/2* t= z/(x+y+z)

となり、辺々を加えて tを消去すると関係式が求められます。


(※)の式は、AD→、AE→を用いると
AP→= (1-t)* AD→+ t* AE→

となり、「内分点の公式」が与えられます。

この回答への補足

回答ありがとうございます(*´ω｀*)
ベクトルは苦手なので今から慣れていきたいとおもいます！

補足日時：2010/02/11 15:51

No.1 回答者： debut 回答日時： 2010/02/10 13:56

わかると思うので、ベクトルの矢は省略します。

xＰＡ＋yＰＢ＋zＰＣ＝０
そのまま変形すれば、
xＰＡ＋y(ＰＡ＋ＡＢ)＋z(ＰＡ＋ＡＣ)＝０
(x+y+z)ＰＡ＋yＡＢ＋zＡＣ＝０
となるので、既定の点Ａを始点にそろえれば、３つのベクトルの
関係を考えることができます。

そこで、
-(x+y+z)ＡＰ＋yＡＢ＋zＡＣ＝０
ＡＰ＝{y/(x+y+z)}ＡＢ＋{z/(x+y+z)}ＡＣ・・・☆

Ｐが線分ＤＥ上にあるとき、ＰはＤＥをｍ：(１－ｍ)に内分する
ので、ＡＰ＝(1-m)ＡＤ＋mＡＥ＝{(1-m)/2}ＡＢ＋(m/2)ＡＣ
これを☆と比較すれば
(1-m)/2=y/(x+y+z)、m/2=z/(x+y+z)
左の式は、(1/2)-(m/2)=y/(x+y+z)とできて、左辺のm/2にz/(x+y+z)
を代入すれば
(1/2)-z/(x+y+z)=y/(x+y+z)
∴y/(x+y+z)+z/(x+y+z)=1/2
両辺に2(x+y+z)をかけて
2(y+z)=x+y+z
右辺のy+zを移項して　y+z=x　となります。