aは実数の定数とするとき、
f(x)=(1-logx)/x^2、g(x)=x+(alogx)/x
(ただし、limx→∞logx/x=0は用いてよい)
(1)f(x)の増減を調べて、グラフをかけ。
(2)g(x)が極大値、極小値をもつためのaの条件を求めよ。
(3)(2)のとき、方程式g(x)=0の実数解の個数を求めよ。
(1)はなんとかできました。
(2)は極値をもつ条件は
g`(x)の符号が正から負、負から正になったとき、
それぞれ極小、極大と言えたと思うので、
g`(x)={x^2+a(1ーlogx)}/x^2
となるので、g`(x)=0とすると、
g`(x)=1+af(x)=0⇔f(x)=-1/a
(1)のグラフを利用して、y=-1/aが2つの交点を持つところ
(正→負、負→正をみたす)の範囲をとって、
-1/(2e^3)<-1/a<0⇔2e^3<a
で、あっているでしょうか?
(3)は、g(x)=0の実数解の個数を求めるわけですが、
Y=a(a>2e^3<a)と残りL(x)=ーx^2/logxとにわけて、
L(x)のグラフをかいて、
Y=a(2e^3<a)との交点の個数を求める
のでよいのでしょうか?
しかし、L(x)のグラフの値がすべて負になった?ので、
交点は一つもなく、明らかに間違いだと思うのですが、
他にやり方が思いつきません。
勉強不足ですが、ご指導、お願いいたします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#2です。
図のL(x)のグラフで合っています。
>このグラフが合っていれば、aの範囲を合わせて、
>実数解は1個となりますね。
a>0の場合は1個ですが、a≦0では1個ではありません。
実数解はA#2に書いたとおりaの値により、0個から2個まで変わります。
y=L(x)のグラフとy=aの交点の数がg(x)=0の解の個数ですから、
y=aのx軸に平行な直線でaの値を変化させていくと交点の数が変わります。
交点の個数、すなわちg(x)=0の実数解の個数になります。
回答、ありがとうございます。
やっと理解できました。
info22さんには、何問も、何度も、本当にお世話になりました。
詳しく説明してくださり、とてもわかりやすかったです。
ほんとうにありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
(2)
a<0でg(x)は極小値を1個持ちます。
a>2e^3で極大値1個と極小値1個を持
ちます。
もし、極大値と極小値を両方とも持つ条
件なら
「a>2e^3」で合っています。
極小値1個だけ持つのも含むなら
「a>2e^3」だけでは合っているとはいえま
せん。
「a<0またはa>2e^3」となります。
(3)を考えるとこちらのケースのようです。
(3)
■ a<-2e でg(x)=0の実数解は2個
■ a=-2e でg(x)=0の実数解は1個
■ -2e<a≦0でg(x)=0の実数解は0個
a>0でx→0で「g(x)→-∞、極大値>0、
極小値>0」なので
g(x)=0の実数解は1個
となりますね。
>L(x)=-x^2/log(x)より、
>L'(x)={x(-2log(x)+1)}/(log(x))^2
>となって、L`(x)=0とすると、
> x=e^(1/2)で、
> x>0において増減表が、
>x 0...e^(1/2)...
>L' + 0 -
>L(x) -2e
> となったので・・・。
>計算ミスしているでしょうか??
計算ミスはしていませんがL(x)やL'(x)の分母の「log(x)」を無視して
増減表を作ったことが間違いの原因です。
x=1の前後でlog(x)は0になるのでL(x)やL'(x)が「+∞」や「+∞/-∞」に
なることを忘れていませんか?
>Y=a(2e^3<a)との交点の個数を求める
>のでよいのでしょうか?
L(x)を考えてL(x)=aの交点数からg(x)=0の解の個数を調べることは有効な方法であり、何の問題もありません。
この回答への補足
回答、ありがとうございます。
質問のほうの補足に、画像を載せました。
(3)でのL(x)のグラフです。
合っていますでしょうか?
きれいに書けなくて、見にくいと思いますが・・・。
logのほうを見落としていたので、
おかしな答えになっていたのですね。
このグラフが合っていれば、aの範囲を合わせて、
実数解は1個となりますね。
No.1
- 回答日時:
とりあえず (3) についてだけ, だけど, x < 1 なら log x < 0 なので「L(x)のグラフの値がすべて負になった
」ということはありえないはず.この回答への補足
回答、ありがとうございます。
L(x)=ーx^2/logxより、
L`(x)={x(-2log+1)}/(log2)^2
となって、L`(x)=0とすると、
x=e^1/2で、
x>0において増減表が、
x 0...e^1/2...
` + 0 -
L(x) -2e
となったので・・・。
計算ミスしているでしょうか??
それとも、x<1で、もう一度場合わけ??が必要になるのでしょうか?
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