No.1
- 回答日時:
原点が(0,0,0)ならば、そこから+にr分、-にr分が最大,最小になるので、原点がZ軸に0なら最小は0-r、最大は0+rでしょう。
原点からrの距離を+と-で計算すれば最小,最大は出ると思います。
この回答への補足
すみません。言葉が足りなかったようで。
3次元上の円なので、円を含む面の法線ベクトルは、当然軸並行ではありません。 円が、XZ平面や、YZ平面上にあれば、単純な話ですが、たとえば XZ平面上の円をY軸回りにθ、X軸回りにφ 回転している場合はどうでしょうか?
ヒントでも結構ですのでよろしくお願いします。
円の中心は、座標原点でかまいません。
No.2
- 回答日時:
>たとえば XZ平面上の円をY軸回りにθ、X軸回りにφ 回転している場合はどうでしょうか?
XZ平面上の円の最大最小は、+r,-r
それをY軸回りに回転しても最大最小は同じ
X軸回りにφ回転したときの最大最小は、+r*cosφ,-r*cosφ(-π/2≦φ≦π/2)
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>原点(0,0,0)に半径rの円があるとき、
原点(0,0,0)を中心とする半径rの円があるとき、
と書くべきですね。
円の方程式はXYZ直交座標では2つの曲面(平面を含む)の交線として表されます。つまり、2つの曲面を表す方程式として表わされます。
たとえば、半径r(>0)の球
x^2+y^2+z^2=r^2…(1)
と平面
ax+by+cz=0 …(2)
(これは原点を通る平面の式です)
交線が円になります。
この円に対してzの最大値、最小値を求めたいなら、
円をXZ座標平面(YZ平面でも良い)に円を正投影してやって、
XZ座標平面内に投影された曲線(楕円)でzの最大値、最小値を求めればよい。
XZ座標面への正投影を求める。
(2)から b≠0であれば、y=-(ax+cz)/b …(3)
(3)を(1)に代入して
x^2+{(ax+cz)/b}^2+z^2=r^2
{1+(a/b)^2}x^2+2(acz/b^2)x+{1+(c/b)^2}z^2-r^2=0…(4)
xの実数条件から判別式D/4≧0なので
(acz/b^2)^2-{1+(a/b)^2}[{1+(c/b)^2}z^2-r^2]≧0
これをz^2について整理すると
z^2≦(a^2+b^2)(r^2)/{(a^2)+(b^2)+(c^2)}
これから
Max(z)=r√[(a^2+b^2)/{(a^2)+(b^2)+(c^2)}]
Min(z)=-r√[(a^2+b^2)/{(a^2)+(b^2)+(c^2)}]
z=Max(z)のとき
x=-acr/√{(a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)}
y=-bcr/√{(a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)}
z=Min(z)のとき
x=acr/√{(a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)}
y=bcr/√{(a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)}
b=0の場合 平面(2)は
ax+cz=0 …(2)'
a≠0の時
x=-cz/a
(1)に代入
y^2+{1+(c/a)^2}z^2=r^2
yの実数条件から
y^2=r^2-{1+(c/a)^2}z^2≧0
z^2≦(r^2)/{1+(c/a)^2}
Max(z)=r/√{1+(c/a)^2}
Min(z)=-r/√{1+(c/a)^2}
z=Max(z)の時 x=-(cr/a)/√{1+(c/a)^2},y=0
z=Min(z)の時 x=(cr/a)/√{1+(c/a)^2},y=0
a=b=0の時
平面(2)は 平面であることからc≠0なので z=0
このとき
円(1)がXY座標平面上にあり、z=0=一定であるので
Max(z)=Min(z)=0,この時のx,yはx^2+y^2=r^2を満たす任意の(x,y)
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