「正9角形の作図」について

Question

「正9角形の作図」について

僕は今高校生で数学が好きです。
僕が小学生の頃からずっと考えてきた問題で「正９角形の作図」という難問があります。

もちろん正９角形の作図が不可能であると証明されていることは知っています。
しかしその証明方法は代数的で代数の苦手な僕にとってなかなか理解できません。
（しかも小学生のときならなおさらです。）
小学生の時からコンパスと定規を持ちながら色々とやってきて、
不思議な正９角形の性質など見つけてきましたが、作図には至りません。（もう少しですが）

私は作図はできると思います。
なぜなら、コンパスと定規でプロットできる点、線分は無数にあり、さらにその点、線分同士を結んで
できる新たな線分もあり、有利数倍、無理数倍して、さらに角度も考えたりして…線分と線分の交点同士を結んでもいいかな。
まあ、そうやってできる場合の数全てのなかで、正９角形の形を決定付ける要素
どれか１つと合えば作図が可能だからです。それを証明できるかどうかはまた別の話ですが…

そこで今回質問したいのは以下の2つです。
（1）あなたは「正9角形の作図」ができると思いますか。
（2）私が見つけた正９角形の性質の１つについてどう思いますか？（下に記入）

（1）についてはあなたの意見が知りたいです。有名な数学者が考えたことならば大体知ってます。
できる、できない、どちらにしても理由をお願いします。
（2）については「これで正９角形がかけるよ!!」とか「ふ～ん」とかなんでもいいです。

とにかく僕は人間が考えるよりも前に図形自体が何か人間に語りかけているような感覚に陥るのです。
雪の結晶、ミツバチの巣はなぜ（正）６角形なのか？他にも自然にできた図形は無数にあります。
これらは何の理由にもなっていませんが、作図ができなくもないと思えてくるのです。

英知を求めたいのです。
ご意見よろしくお願いします!!

～正９角形の性質の1つ～
原点Ｏを中心とする単位円（円Ｏ）を書く。
点Ｑ（cos60°,sin60°）、点Ｒ（cos120°,sin120°）を結ぶ（y=√3/2）。
点Ｑ、点Ｔ（cos300°,sin300°）を通る直線（x=1/2）をひく。
原点を通り、y=√3/2、x=1/2とのそれぞれの交点の距離が2（円Ｏの直径）となるように直線を定める。
するとこの直線はy=（tan80°）xとなる。
逆に言えばx=1/2とy=（tan80°）xとの交点を点Pとすれば、SP=2となる。（証明済み）
y=（tan80°）xとy=√3/2との交点を点Ｓとする。
QS=SVとなるように円Ｏ上に点Vを定める。
するとこの線分VQは正9角形の一辺の長さと等しくなる。
他にたとえば点Ｂ（cos260°,sin260°）、点Ａ（cos220°,sin220°）を定め（VQ=TB=BA）、
VTとQAの交点をαとすれば△VQα∽△TAαとなりどちらも正三角形になる。(証明済み)
ちなみにこの点αは正9角形にとって重要な点であり、この点が決まれば正9角形は作図可能である。

Ginzang · Accepted Answer

No.3の者だが、私の意見も述べることをお許し頂きたい。
これ以上の話はもう、一種の宗教戦争（『思想信条を押し付けあうだけの、精神的疲弊のみが残る不毛な論争』という意味での）になりかねないので、余り乗り気ではないのだが・・・。

カントール曰く、「数学の本質は、その自由性にある」と。これは集合論について言われたことだが、幾何学でも同じことである。
いわゆるユークリッド幾何学の許す、古式ゆかしい作図の方法では不可能であったことが、他のどのような方法を許せば可能になるのか、その新たな方法を探るというのも、また一つの数学の方法である。
（さらに言えば代数学でも同じである。例えば、代数的には一般的解法のない5次方程式だが、ある特殊な関数を導入することで一般解を書き表せると耳学問に知ったことがある。）

作図が不可能であることを証明すること、ユークリッド的な作図の限界を探ることと同様に、敢えて許される手段を少しずつ拡張することで新たに何ができるようになるのか探ることにも数学的有益性はある（もちろん、『何でもあり』のやり方は厳に慎まれるべきであるが）。
自分の作図したいものが本来の作図法では不可能であるならば、新たな方法を探すなり、何なら自分で開発して試してみるのも、教育的に悪いこととは思わない。

スポーツに例えて言えば、ある学生がフットボール（サッカーの原型らしい）の試合中に、ルールでは許されていないのにボールを抱えて相手ゴールへ突撃してしまい、しかしそれが面白そうということになってルールに書き加えられ、それがラグビーという新しいスポーツになった、ということがある。
御存知のように、今でもサッカーはサッカー、ラグビーはラグビーと、異なるスポーツとして楽しまれている。それと同様に、従来の作図法と質問者のような新しい方法での「作図」は、別々のものとしては両立できる。

残念ながら、正9角形はコンパスと定規を本来の方法で用いる方法では作図不可能なのは、宇宙が始まる前から決まっていたとしても良いほどの事実である。
しかし、だからこそ、本来的でない正9角形の作図に作図の条件を緩めて挑むことに数学的興味が出てくる。
質問者も、「作図不可能」という厳然たる事実は踏まえつつ、色々な方法で挑んでみれば良いと思う。


最後に、本来の質問から離れたことばかり記したお詫びに、私のかつて考えた「作図」を披露しておく。この方法は、一般の正n角形へも応用可能である。
もちろん、本来許される方法ではないが、考えること自体は頭の体操としてはかなりのものである。

(1)まず、大きな円の中に、作図可能なことが分かっている正12角形を描く。
(2)この正12角形の12個の頂点と中心とを結ぶ線分を引く。
すると、全て合同で、一番小さな角が30度であるような二等辺三角形12個からなる図形が描かれることになる。
(3)この図形のうち、連続する9個分の二等辺三角形を、まとめて切り出す。
(4)この切り出したものを上手く貼れば、丁度正9角錐の側面が完成する。
(5)この立体の底を平らな面に押し付ければ、底面が正9角形をなしている。

alice_44 · Answer

←No.5 補足
ずいぶん攻撃的ですね。

(1)について:
読み取ってもらえなかったようですが、
「私の言葉」は、『証明を重んずるからこそ、
数学は凛として美しい。』です。ですから、
作図不能が証明されているのは解っているが、
それでも作図することに夢を感ずる
…という貴方にとっての「夢」は、
私にとっての「夢」とは全く違うな
…と感じ、そのことを書いてみました。
夢は、人それぞれです。

(2)について:
「作図」という言葉の定義を変えて、
何らかの意味で「作図」しようという
アプローチは、否定しません。
むしろ、たいへん面白いと思います。

ただ、私の個人的な趣味から言うと、
定規を回したり、滑らしたり、
アルキメデスの螺旋を使ったり、
そういったギミックに凝る手法よりも、
『線分同様、円弧も等分可能とする』と規約
してしまうほうが、簡潔かつ強力かと思います。
「紐を使って」と書いたのは、そういう意味です。
「角度」という概念を導入して、
平面図形としての「角」そのものの代わりに
数値で扱う…というのは、そういうことだと
思います。
これも、「私の言葉」です。

alice_44 · Answer

No.3 補足
＞ まあ、これでは作図とは呼べませんが

解っていて、敢えてやっているんですね。
タチが悪いというか、却って清々しいというか…

「コンパスと定規で作図」というとき、
コンパスと定規の使い方は決められています。
コンパスは、与えられた一点を中心として
与えられたもう一点を通る円周を描くこと
以外に使ってはいけないし、
定規は、与えられた二点を通る直線を描くこと
以外に使ってはいけない。

原点を通りながら定規を回転させることや、
コンパスの脚を 40°に開けるように分度器を
付けておくことは、許されていないのです。
ルールがあるから、ゲームは面白いんですよ。

何をしても良いというのなら、螺旋も結構ですが、
ヒモを使って、線分の 9 等分を円周の 9 等分に
移しでもしたほうが、ずっと簡単です。　　　　← これが(2)への回答
もちろん、それは「作図」ではありませんが。


No.4 補足
＞ わたしは 40°が作図可能だともおもいません。
＞ しかし結果的に 40°が作図されててもいいと思うのです。
＞ 僕も自分で言ってて矛盾だなと思います。
＞ ただ、夢（作図）をあきらめたくないのです。

そういうのも、あるいは「夢」なのかもしれませんが、
正 9 角形が作図不能である なんてことが
厳密に証明できてしまう ということには、
もっと大きな夢があると、私は思います。　　　　← これが(1)への回答

ヒルベルトの語った「我々は知らねばならない。
我々は知るであろう。」という夢が、単なる夢物語
であったことは、ゲーデルが証明してしまいましたが…
それでもなお、信じることは情念ではなく証明によって主張する
という数学のスタイルは、凛として美しく思えるのです。

kabaokaba · Answer

>一辺の長さが求められたら単位円ですので
>それを円に沿って9倍したら正9角形がかけます。

「円に沿って9倍」というのは何でしょうか？
作図の作法に合致する操作ですか？
なんどでもいいますが，角度をどう作るかが本質ですよ．
ぶっちゃけた話，40度（90-40=50度でもいい）が
作れればいいのです．
「80度が作図可能ではない」と言ってるのに
正九角形が作図可能というのは矛盾ですよ．
「正九角形が作図可能」は「外角の40度が作図可能」と同値．
「40度が作図可能」は（倍角の公式で）
「80度が作図可能」と同値です．

私としては，No.3さんと同意見で
あなたの結論自体は間違ってるよと指摘しますが，
あなたの考察に対しては敬意を表します．
こういう考察はすばらしいです．
No.3さんの指摘にある「アルキメデスの螺旋」とか面白いですよ．

ついでにいうと，この作図不可能性は
ガロア理論という代数の理論で証明するのが定番ですが
この理論，実は高校生でも
ちょっと背伸びすれば概略は追えます．
多項式の割り算と余りの計算を巧みに使う極めて精巧な代数です．
まあ，代数は苦手とかいわずに，
きちんと勉強しておかないとあとあとつらくなります．
数学は科学の言葉，代数は数学の言葉ですから．

>それが有理数（2ですが）と関係があるところにぼくも不思議なのです。
こういう関係はたまにでてきます．
一番有名なのは，なんといってもe^{iπ}=-1ですな．
吉田武氏の「オイラーの贈り物」とか読んでますか？

Ginzang · Answer

一応、大学で数学を学んだものの意見である。

(1)もし私に、No.1氏の言うような知識が無かったとしても、（正5角形の作図がちょっと大変なのを知っているので）正9角形なんて無理だと思うだろう。
ガウスが作図方法を示した正17角形も、「理論的には描ける」と知っている今でも「自分には無理だ」と思っているくらいである。

(2)図がないので完全に理解したとは言えないのだが、数学愛好家としてはなかなかの考察だと感じた。
ただ、作図上の疑問がある。
>原点を通り、y=√3/2、x=1/2とのそれぞれの交点の距離が2（円Ｏの直径）となるように直線を定める。
多分この直線は、コンパスと定規だけでは作図不可能ではないだろうか？
この作図が可能なら、確か、任意の角の3等分が作図可能、ということになってしまうのであるが・・・。

ともかく結論としては、質問者の考察は、大変残念ながら、過去の無数の試み同様に、正9角形の作図可能性を肯定できるものではないようである。
しかし、この思索を通じ幾何学への造詣を深められたのであれば、それはかけがえのない体験になっただろうし、悲観することはない。
>とにかく僕は人間が考えるよりも前に図形自体が何か人間に語りかけているような感覚に陥るのです。
なんて、なかなかない素晴らしいことだと思う。

最後に、質問者はすでに御存知かもしれないが、「アルキメデスの螺旋」という角のn等分を可能にする曲線の存在を示しておく。
これを使えば、任意の正多角形を正確に描ける（しかし、本来の意味での作図にはならないが）。

kabaokaba · Answer

>一応この方法では、正9角形をコンパスと定規（目盛りなし）で描くことが可能です。

本当ですか？計算を追いかけてはいないけども
一辺の長さが作図可能でも，
角が作れなければ作図できません．
実は作図可能性で大事なのは一辺の長さではありません．
角度の方です．次に注目するのは「比」です．
正九角形の場合は「50度」です．
一点が定まっても作図できません．3点が必要です．

ちなみに80度，260度，220度も
たぶん作図可能性には反する角だと思います．

kabaokaba · Answer

>私は作図はできると思います。
>なぜなら、コンパスと定規でプロットできる点、線分は無数にあり、さらにその点、線分同士を結んで
>できる新たな線分もあり、有利数倍、無理数倍して、さらに角度も考えたりして…線分と線分の交点同士を結んでもいいかな。

残念ですができません．
その証明のアイデアはまさに上に引用した考え方です．
コンパスと定規で点を求めるというのは結局のところ
・円と円の交点（せいぜい四次方程式をとく）
・円と直線の交点（せいぜい二次方程式をとく）
・直線と直線の交点（せいぜい一次方程式をとく）
ということです．
ですので「任意の無理数」は作れないのです．
せいぜいできて，2乗根・4乗根・8乗根・・・
2^n乗根(の組み合わせ)です．
正9角形，つまり
50度の三角関数の値はこの手の数ではないのです．

このように「作図可能」というのは
「点を見つける」こととなり
さらに「二次方程式の解を求めることの繰り返し」
という形に変換されるのです．
これを徹底的に議論すると
実は作図可能な正n角形は
「フェルマ素数の積」*「2の累乗」という
形のnに限定されてしまい，
9 = 2^3 + 1だけども，
これは素数じゃないからダメです．
＃オイラー関数というのを使うときれいに条件がかけます

「正9角形の作図」について

No.3の者だが、私の意見も述べることをお許し頂きたい。

←No.5 補足

No.3 補足

>一辺の長さが求められたら単位円ですので

一応、大学で数学を学んだものの意見である。

>一応この方法では、正9角形をコンパスと定規（目盛りなし）で描くことが可能です。

>私は作図はできると思います。

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