正ｎ角形

正ｎ角形の一辺の長さを求める公式はありますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： tsukita 回答日時： 2010/02/11 00:04

こんばんは。

はい、ありますよ。高校で学習する余弦定理を用いれば式をつくることができます。

【余弦定理】
三角形ＡＢＣについて、辺ＡＢと辺ＡＣの成す角の大きさをθとすると、

ＢＣ^2＝ＡＢ^2＋ＡＣ^2 －　2・ＡＢ・ＡＣ・cosθ

が成立する。
※・は掛け算、ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ等は辺の長さです。
※ウェブ上で“余弦定理”で検索をかければ、図付きのページがたくさん出てくると思いますので、参照してみてください。


さて、問題の正n角形の一辺の長さの公式ですが、
前提として、半径rの円に正n角形が内接しているとします。

このとき、正n角形の一辺の長さをRn（nはn角形のn）とすると、余弦定理より、
Rn^2 ＝ r^2　＋　r^2　－　2・ｒ・ｒ・cos(360度／n)
が成立します。もう少し整理すると
Rn^2 ＝ ２・r^2　－　2・r^2・cos(360度／n)
従って、
Rn　＝　±√（２・r^2　－　2・r^2・cos(360度／n)）
Rnは長さなので、Rn＞0で
Rn　＝　√（２・r^2　－　2・r^2・cos(360度／n)）・・・結論
と表せます。

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2010/02/11 01:47

正n角形の外接円の半径をrとするとき、

2r*sin(π/n)

No.1 回答者： w0col 回答日時： 2010/02/10 23:59

正ｎ角形だとすべての辺の長さが等しく、どんな長さでも正ｎ角形が出来てしまうので、公式はないですよ。