No.1ベストアンサー
- 回答日時:
cos(z)をテーラー展開すると
cos(z)=1-z^{2}/2+z^{4}/4!-…
なので、この問題の被積分関数をローラン展開すると
cos(z)/z^{4}=1/z^{4}-1/(2z^{2})+1/4!-…
となります。
そして
∫[c]z^{n}dz=0 (n!=-1)
を使うことで、被積分関数の各項を積分したとしても全てが0になります
ちなみに
∫[c]z^{-1}dz=2πi
という公式もあります。
求め方は
I=∫[c]z^{n}dz [c:|z|=1]
に対し
z=e^{iθ}
とおくと
dz=ie^{iθ}dθ=izdθ(経路はθ=0→2π)
なので
I=i∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ
n=-1のときは
I=i∫[0→2π]dθ=2πi
n!=-1のときは
I=(1/n+1)∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ
=(1/n+1)[e^{i2(n+1)π-1]=0
この回答への補足
アドバイスありがとうございます。∫[c]z^{n}dz=0 (n!=-1)が理解できません。
n!=-1 はどのように理解すればよろしいのでしょうか?。∫[c]z^{n}dz=0 (n!=-1)はどのように導かれるのでしょうか?
お手数おかけ致しますが、ご助言の程よろしくお願い致します。
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