(1+i)^n/(1-i)^n-2をn≧0の整数について計算し，規則性

(1+i)^n/(1-i)^n-2をn≧0の整数について計算し，規則性を述べよ。また，どうしてそうなのかを説明せよ。という問題なのですが,n=0,1,2,3,…と当てはめてみると，-2i，2,2i，-2，-2i，2，…と値が変わっていくので，規則性は公比iの等比数列でよいのでしょうか？まちがっていたら教えてください。
また，その理由が分からないのでどうしてそうなるのか教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/05/19 23:28

　等比数列という見方でよいと思います。

　ちなみに、次のように変形すると極座標形式での規則性を見ることができます。

(1+i)^n/(1-i)^(n-2)
=(-2i) i^n
=2{cos(-π/2)+isin(-π/2)} {cos(π/2)+isin(π/2)}^n
=2{cos(-π/2)+isin(-π/2)} {cos(nπ/2)+isin(nπ/2)}
=2[cos{(n-1)π/2}+isin{(n-1)π/2}]

　従って、複素平面上で、(0,-2i)を出発点として原点を中心として反時計回りに90°ずつ回転している　と見ることもできます。

この回答への補足

難しいですね。どうしてそうなるのか説明もしなくてはならないのですが，どういう風にしたら良いですか？教えてください。

補足日時：2010/05/19 23:57

No.3 回答者： aquatarku5 回答日時： 2010/05/20 06:15

No1の者です。

当該等比数列の一般項をA_nとすると、
ANo1にて、A_n=(-2i)・i^nまで導きましたが、
「どうして，そうなのかの説明」とは、「これが
等比数列であることを示す」ことで充足できて
いますでしょうか？

とすれば、
・n>=0の整数に対して、
　A_(n+1)/A_nの値は、(nによらず一定値)i　となる
・A_1=-2i≠0
から、公比iの等比数列である、ということでは
いかがでしょうか・・・

No.1 回答者： aquatarku5 回答日時： 2010/05/19 22:55

与式=(1+i)^n/(1-i)^(n-2)

=(1-i)^2・(1+i)^n/(1-i)^n
=(-2i)・{(1+i)/(1-i)}^n
=(-2i)・i^n

初項-2i,公比iの等比数列ですね。

この回答への補足

どうして，そうなのかの説明はどうすればよいのでしょうか？教えてください。

補足日時：2010/05/19 23:55