複素平面の問題

Question

ｚ=√2分の1+iのとき、
ｚの２乗、ｚの3乗、ｚの4乗
ｚ分の1、ｚの２乗分の1、ｚの3乗分の1、ｚの4乗分の1
を求め、
それらを複数平面上に図示せよ。

という問題なんですが
特にｚの3乗分の1の求め方
複素平面上に表す時のやり方中心に
わかりません。

分かる方
教えてほしいです。

berokanda · Accepted Answer

ｚ=√2分の1+iならば|z|=1ですからzは単位円上
にあります。単位円上の点は何乗しても単位円
上にあります。

zの偏角はπ/4（45°）なので、n乗を取る操作
はzを反時計回りに45°ずつn回回すことと同じ
です。

1/zはzを実軸について折り返すことと同じです。

(1/z)のn乗は1/zを時計回りに45°ずつn回回す
ことと同じです。

というわけで、図を書くだけなら最初のzの位置さ
えわかればあとは計算不要です。

計算不要になるのは絶対値１の複素数の掛け算
は偏角の足し算になるからです。

もちろん、計算して実際にそうなることを確かめ
ることはやっておいたほうがいいでしょう。

178-tall · Answer

z = √{ (1+i)/2 } じゃなく、z = (1+i)/√2 なの？

…ならば、z = (1+i)/√2 = e^(iπ/4) だから…、

>ｚの3乗分の1 …
　z^(1/3) = e^(iπ/12)

など、角度 (arg) の勘定だけになる。
何でもござれ、です。

Willyt · Answer

何にも難しいことはありません。シコシコやっていけばいいのです。

ｚ＝1/√2 + i なら
ｚ＾2 = -1/2 +√2i=√2(i-1/√2)

という風にやっていけばいいのです。但し 1/（a+bi) は 分母分子に　a-bi を乗じると分母の虚数が消えます。後は腕力のみ。自分で頑張れぇ(^_^)

178-tall · Answer

ANo.2　勘定錯誤訂正。

(1+i)/2 = (1/2)*e^(iπ/4)

↓

(1+i)/2 = (1/2)^(-1/2)*e^(iπ/4)

そのあとも要訂正なれど、省略。

178-tall · Answer

べき乗演算には r*e^(iθ) 方式…かな。

一般には？
　u+iv = r*e^(iθ)　r=?,　θ=?
ご存知ですよネ。

(1+i)/2 = (1/2)*e^(iπ/4)
から、
　z = √{ (1+i)/2 } = (1/2)^(1/2)*e^(iπ/8)
このまま図示するには r - θ セクション・ペーパーが便利。

方眼紙に図示、なら？
　r*e^(iθ) = u+iv　u=?,　v=?
ご存知ですよネ。

>ｚの3乗分の1 …
　z^(1/3) = { (1/2)^(1/2)*e^(iπ/8) }^(1/3)
　= (1/2)^(1/6)*e^(iπ/24)

勘定の難易は別として、何でもござれ、です。

tetra_o · Answer

複素数平面を履修していないのでおかしな部分があるかもしれませんが……

まず、z^2を複素数平面に記入します。そしてその時の座標を(rcosθ,rsinθ)とします。rは正の実数、θは0から2πを動くとしましょう。

そして、一般に複素数Zが(rcosθ,rsinθ)と表されるとき、Z^mの座標が(r^m*cos(mθ),r^m*sin(mθ))となることを利用して、zの3乗、zの4乗……と求めればよいでしょう。例えば、zの3乗を求めようと思えば、z^2を3/2乗すればいいですよね。つまり、z^3の時、座標は(r^(3/2)*cos(3θ/2),r^(3/2)*sin(3θ/2))となるというわけです。
また、1/z^3については、これは指数法則よりz^(-3)と表せるわけですから、z^2を(-3/2)乗すれば求まると思います。

間違っていたらすいません＾＾；

複素平面の問題

ｚ=√2分の1+iならば|z|=1ですからzは単位円上

z = √{ (1+i)/2 } じゃなく、z = (1+i)/√2 なの？

何にも難しいことはありません。

ANo.2 勘定錯誤訂正。

べき乗演算には r*e^(iθ) 方式…かな。

複素数平面を履修していないのでおかしな部分があるかもしれませんが……

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ANo.2　勘定錯誤訂正。