ガウスの超幾何微分方程式

ガウスの超幾何微分方程式

時弘哲治「工学における特殊関数」p.94 (3.69) (添付画像の式1)がガウスの
超幾何微分方程式である、と記載されています。

一方で、ガウスの超幾何微分方程式は添付画像の式(2)で与えられます。


式(2)のβ=式(1)の(α-β+1/2)とし、式(2)のγ=式(1)のβ+1/2としてみましたが、式1
と式2が同等であるとは自分では証明できませんでした。


どのような変数変換をすれば二つの式が同じであるかご教授お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2010/05/29 16:35

常微分方程式は，型が同じであれば，定数が完全に一致しなくても

同じであると見なされます．なぜならば，同じ型の常微分方程式は，
同一の解法で解ける可能性が期待できるからです．

式(1) の α，β と 式(2) の α，β は，全く同じものという保証はありません．
これは一般に異なるものと考えた方が無難です．
あるいは，同じものだと定義されているのでしょうか？

式(1) と 式(2) は，確かに同じ型なので，どちらもガウスの超幾何微分方程式です．
比較してみると，

式(1)　　ξ(1－ξ)(d^2υ/dξ^2)
式(2)　　 z(1－z)(d^2w/dz^2) 　　　　　　w(z)　を　w　と書いておく．

式(1)　　(定数)(dυ/dξ)
式(2)　　(定数)(dw/dz)

式(1)　　(定数)υ(dυ/dξ)
式(2)　　(定数)w(dw/dz)

式(1)　　(定数)υ
式(2)　　(定数)w

となっており，常微分方程式の型が完全に一致します．したがって，
いずれもガウスの超幾何微分方程式です．

係数の関係を求めようとするのであれば，式(2)のα，β，γをそれぞれ
Ａ，Ｂ，Ｃと書き換えた上で，式(1)と式(2)の係数を比較して，Ａ，Ｂ，Ｃを
決めれば良いでしょう．つまり，

ＡＢ＝α[α－β＋(1/2)]
Ａ＋Ｂ＋1＝2[2α－β＋(3/2)]
Ｃ＝2β＋1

とし，この連立方程式を解いて，Ａ，Ｂ，Ｃをきめます．

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2010/05/29 22:02