オイラーの多面体公式

オイラーの多面体公式

オイラーの正多面体公式
（頂点の数）＋（面の数）－（辺の数）＝２

この“２”というのは、どんな意味を表しているのでしょうか。

なぜ“２”になるのか説明しなければなりません。

どなたか参考になるページや詳しい説明がわかれば教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/06/11 11:30

こんにちわ。

比較的わかりやすいと思う証明方法（大枠）は、次のようになります。

1) 平面上において多角形を張り合わせた図でオイラーの定理を考えます。
このときは、V- E+ F＝ 1となります。
（頂点の数：V、辺の数：E、面の数：Fとして）

2) 1)の図を多面体の「展開図もどき」と見ることで、多面体に対するオイラーの定理を示します。
多面体からどこか 1面だけを切り抜いた図を考えると 1)の図と同等になり、
切り抜いた 1面を戻すことで V- E+ F＝ 2となります。


「オイラーの多面体定理」と検索してみれば、結構な数のサイトが出てきます。
「公式」よりは「定理」の方が多く出てくると思いますよ。

この回答へのお礼

こんにちは。

わかりやすい説明誠にありがとうございます。
なるほど！と今まで分からなかったことに納得がいきました。

手順をおって説明していけば中学生にも分かってくると思います。

検索もして、自分でもしっかり理解したいと思います。

詳しい説明ありがとうございました。

お礼日時：2010/06/12 10:15

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/06/11 08:59

あなたは大学生ですか？高校生ですか？

オイラーの多面体公式（正である必要はない）は
もっと一般的な公式の単なる帰結です．
どこまで考えるかで話が異なります．

一般的には，
「コンパクトな曲面のホモロジー群の各次元の階数の交代和が種数gを用いて2-2gとなる」
ということであり，多面体はg=0のケースに相当するということが
オイラーの多面体公式です．
2であるわけは1+1ってことで
一つの1は「多面体が連結」であることを，
もう一つの1は「多面体が向き付け可能」であることを意味します．
＃ついでにいうと，間の-2gは「穴の数」がgであることを意味する．

多面体公式だけなら，ざっくりとした証明は比較的簡単で
小学生でも理解できるものなので証明を説明すれば
2である必然も見えるかもしれません．
もしくは「2」にならない立体を探してみればいいかもしれません．
多面体ではないですが「浮き輪」をはりぼてで作って
同じ和を求めれば，値は0です
二人用浮き輪なら値は-2です．

この回答へのお礼

こんにちは。

私は大学生です。
公式を中学生に説明しなければならず、質問させていただきました。

証明を説明してみようと思います。

詳しい説明誠にありがとうございました。

お礼日時：2010/06/12 10:04