No.1ベストアンサー
- 回答日時:
座標を+方向にL/2移動して原点に関して対称にします。
さらに簡単のため熱伝導方程式∂u/∂t = a^2∂^2u/∂x^2 …(1)
においてa=1とします。初期条件が偶関数なのでフーリエcos級数で表わされ,さらに境界条件より
u(x,t) =Σa_k(t)cos(c_k・x) (k=0,1,…)
ただし c_k = (2k+1)π/L
と仮定できます。これを(1)に代入すると
da_k/dt = -c_k^2・a_k
よって
a_k(t) = b_k・exp(-c_k^2・t) (b_kは定数)
t=0とおくと
f(x+1/2) =Σb_k・cos(c_k・x) (x+1/2となっているのは座標軸を平行移動したため)
この式の両辺にcos(c_j・x)をかけて、-L/2からL/2まで積分すると
左辺=2(1/c_j)^2
右辺=(L/2)b_j
よって
u(x,t) =Σ(4/L)(1/c_k)^2・exp(-c_k^2・t)cos(c_k・x)
となります。計算間違いをしているかも知れませんがプロットしてみたらそれらしい形にはなりました。
No.3
- 回答日時:
cにkが添字としてついているものをc_kと表わしました。
それ以上の意味はありません。(一般に使われているわけではありません)Σc_k
と書いてあると,k=0,1,2…について和を取ることになります。
No.2
- 回答日時:
すみません。
さきほどの私の解答でf(x+1/2)
となっているところはf(x+L/2)に訂正させて下さい。
t→∞のときの極限ではexp(-c_k^2・t)がありますので
u(x,t)→0
c_k^2は(c_k)^2の意味です。
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