統計の基礎なんですが…

Question

大学へ入って「統計の基礎」というのを習っているのですが

　正規分布の特徴に
『互いに独立に作用する多数の偶然的要因があり、一つ一つ要因の全体への影響が微少であるとき、これらの諸要因がもたらす誤差の総和は正規分布する』
ってあります。

「諸要因がもたらす総和というのはいったい何？」という疑問と「誤差が正規分布するとは？」という疑問が起こりました。

　インターネットで用語集を探してみてみましたが、難しくてよくわかりませんでした。具体例…みたいなものをあげていただくとわかりやすいです。

すいません。ひょっとしたらものすごく漠然としているかもしれません。ですが、解説よろしくお願いいたします

hatman34 · Accepted Answer

統計学では「大数の法則」と言います。これで検索すればたくさんでてきます。
http://www.yomiuri.co.jp/atmoney/yougo/000105.htm
を見ると一般向けのやさしい言葉で書いてあるけど、数学的厳密性はないですね。
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/taisuu/taisuu.htm
には身長の分布を例として説明してあります。
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/probability/i_09-00.html
には数学的に説明してあります。

誤差っていう言葉にはあまりこだわらなくて良いです。
平均値からのずれを誤差と呼んで、誤差自信の平均値をゼロにしているだけです。

keyguy · Answer

Ｘ［１］，Ｘ［２］，・・・，Ｘ［ｎ］がそれぞれ互いに独立で平均値が０で分散がσ＾２／ｎの一様分布をする確率変数とすると確率変数
Ｘ＝ｌｉｍ（ｎ→∞）Σ（ｋ＝０～ｎ）Ｘ［ｋ］
は平均値が０で分散がσ＾２の正規分布をすることが簡単に証明できる。

kakusuke · Answer

『互いに独立に作用する
多数の偶然的要因があり、
一つ一つ要因の
全体への影響が微少である』ものを
言い換えて、
『互いに独立に作用する
ｎ個の要因
（偶然だろうと、必然だろうとかまわない）
があり、
一つ一つ要因の全体への影響が
大きいものを除いたもの』
は予定外のものってことですよね？
で、予定外のものの影響が小さい場合
もともとが正規分布している
（分散が、θ、平均が０）
集団の
予定外のもの（誤差）の合計（総和）の
分散が、θ、平均が０
ってことです。

ymmasayan · Answer

例で説明します。

小数点以下を持つ数字１００個を考えます。１００個はもちろん独立です。
１００個の数字をそれぞれ四捨五入して真値との誤差を計算して総和を取ります。

これを別の独立なデータで何１００回も繰り返します。

すると、
「互いに独立に作用する多数の偶然的要因があり、一つ一つの要因の
全体への影響が微少である」
が満たされているので
「これらの諸要因がもたらす誤差の総和は正規分布する」

ことになります。実際に釣鐘型の正規分布のグラフになるはずです。

keyguy · Answer

総和：
ｘ１，・・・，ｘｎ
をそれぞれ誤差とするとき
Σ（ｋ＝１～ｎ）ｘｋ
が総和です。

ｘが正規分布するとは：
実数μと正の実数σが存在しｘがｕ以下である確率が
Ｆ（ｕ）＝∫（－∞＜ｘ＜ｕ）ｆ（ｘ）ｄｘ
であることである。ただし
ｆ（ｘ）＝ｅｘｐ（－（ｘ－μ）＾２／２／σ＾２）／σ／√（２π）
です。

統計の基礎なんですが…

統計学では「大数の法則」と言います。

Ｘ［１］，Ｘ［２］，・・・，Ｘ［ｎ］がそれぞれ互いに独立で平均値が０で分散がσ＾２／ｎの一様分布をする確率変数とすると確率変数

『互いに独立に作用する

例で説明します。

総和：

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