No.2ベストアンサー
- 回答日時:
R→∞ について :
C_R 上の積分は、
|∫{ (log x) / (x^2 + a^2) }dx|
= |∫{ (log Re^(iθ)) / ((R^2)e^(2iθ) + a^2) }iRe^(iθ)dθ| ; x = R e^(iθ) で置換
≦ ∫|{ (log Re^(iθ)) / ((R^2)e^(2iθ) + a^2) }iRe^(iθ) |dθ ; 絶対積分との比較
= ∫{ |(log R) + iθ| / |(R^2)e^(2iθ) + a^2| }Rdθ
≦ ∫{ (|log R| + |iθ|) / (|(R^2)e^(2iθ)| - |a^2|) }Rdθ ; 三角不等式を利用
= ∫{ ((log R) + θ) / (R^2 - a^2) }Rdθ
= ((log R)π + (1/2)π^2) R / (R^2 - a^2) ; θ = 0→π で積分
= { ((log R)π + (1/2)π^2) / R }・{ R^2 / (R^2 - a^2) }
最右辺は、lim[R→+∞] (log R)/R = 0 より、R→+∞ のとき =0 となる。
ε→+0 について :
C_ε 上の積分は、上記と同様にして、
|∫{ (log x) / (x^2 + a^2) }dx|
≦ ((log ε)π - (1/2)π^2) ε / (a^2 - ε^2) ; θ = π→0 で積分
= { ((log ε)π - (1/2)π^2) ε }・{ 1/ (a^2 - ε^2) }
最右辺は、lim[ε→+0] ε(log ε) = 0 より、ε→+0 のとき =0 となる。
No.1
- 回答日時:
留数定理を使います。
int_{C_R}log(z)dz/(z^2+a^2)・・・I(1)
+int_{-R}^{-ε}log(z)dz/(z^2+a^2)・・・I(2)
+int_{C_ε}log(z)dx/(z^2+a^2)・・・I(3)
+int_{ε}^{R}log(x)dx/(x^2+a^2)・・・I(4)
=2πiRes(ai)
I(1)=int_{0}^{π}(log(R)+it)iRe^{it}dt/(R^2+a^2).
被積分関数の分子はRlog(R)、分母はR^2のオーダーなのでI(1)→0,(R→∞).
I(3)=int_{0}^{π}(log(ε)+i(π-t))iεe^{it}dt/(ε^2+a^2).
被積分関数の分子はεlogε,分母は定数のオーダーなのでI(3)→0,(ε→0).
I(2)
=int_{-R}^{-ε}(log|x|+iπ)dx/(x^2+a^2)
=int_{ε}^{R}(log(x)+iπ)dx/(x^2+a^2).
→I(4)+π^2i/2a,(ε→0,R→∞).
(2πi)Res(ai)
=(2πi)lim_{z→ai}[(z-ai)f(z)]
=(2πi)[log(a)+πi/2]/(2ai)
=[πlog(a)]/a+π^2i/2a.
lim_{ε→0,R→∞}I(4)=[πlog(a)]/2a.
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