円の面積でつまずく理由

Question

円の面積でつまずく理由

http://news.goo.ne.jp/article/asahi/nation/K2010073006210.html
この記事をみておもいました。

なぜ円の面積でつまづいているのでしょうか、、、
わたしはいちおう成人してますので、指導していただく必要はありませんけど、、、
興味本位でということで。

noname#152421 · Accepted Answer

円の面積って、円周率を理解する必要がありますよね。

小学校のとき、3.14なる数を習って、念仏のように、ハンケイカケルハンケイカケルサンテンイチヨン、と何度も唱えていた記憶があります。

当時、自分の中では、円の大きさが変わっても同じ計算の仕方でなぜいいのかとか、短冊に切っていくところとかがよくわからなかったので、躓いたコドモの一人です。

他の人から呆れられそうですが、今でも、たとえばハンケイだったかチョッケイだったかわからなくなってしまうことがあって、円周の長さが2πだよな～、なんでπじゃなくて2πなんだろ、面積だから長さの二乗に比例するよな、ってところから考え直さないといけなくなることがあります。

円周率の決め方は必然ではなくて、決め事であるから唱えた呪文を正確に思い出すことがやっぱり重要。理屈じゃないです。それに、超越数を使っているわけで、極限操作を前提にしているから結構高級なことやってるんですけど、実用上小学生に教えてるし、自分たちもコドモのころ教わっている記憶があるから簡単なような気になってしまう。

わからなくても仕方ないと思いますよ。
教育方法がなんだかんだ言うとか、世代間の差がどうのこうの言うのにはあんまり同調したくないです。

蛇足ですが、他の人への補足でリンクをはっている質問の件は、意見が反対なのではなく、内容がオカルトちっくなところに反応しているんだと思います。

staratras · Answer

公式を丸暗記しよう（というより教師がさせよう）とするからだと思います。

「円の面積＝半径×半径×円周率」を小学生に教えるのに、
小学校の算数では、円を細かい扇形に切断して並べ替え、この形が
短い辺が円の半径、長い辺が円周の半分の長方形に近づいていくことから、
円の面積→長方形の面積→半径×円周の半分　であることを示し、
円の面積＝半径×半径×円周率　ということを説明しています。

このやり方は、もちろん円の面積の公式の厳密な証明ではありませんが、
直感的に分からせるにはうまい方法だと考えます。

子どもに円形の紙を切らせて、並び替えさせ、確かにそうなることを頭だけでなく
手と目で理解させるなど教える側が工夫していれば、それなりにつまづくこの割合も
減るのではないのでしょうか。
(この意味からも算数の時間は子ども自身にじっくり考えさせるだけの余裕が必要だと思います）

soixante · Answer

いまの教科書にどのような記述がされているのかが分からないのですが、そもそも「円周率」が何か？と言う話が欠落しているんじゃないでしょうかね。

大昔の人が気付いたこと。どんな大きさの円であっても、直径と円周の長さの間には決まった比率があるのではないかと。
３倍ちょっと。
その比率を計算する為に、コンピューターはおろか、電卓も無かった時代から、多くの数学者があらゆる方法を試みてきた歴史。
ものすごく面白いですよね。

こういうことが根底にあれば、当然、円周を求める公式なんて覚えてなくたっていいわけです。

円の面積だって同様。

円を切り開いていく話って教科書に載ってるんですかね。
円を真っ二つにして、半円２つ
それをさらに半分づつにして、扇形４つ。
さらに、８つ、１６、３２、・・・・　ってやっていって、ものすごく細い二等辺三角形がつながった形になってる話。

それを２セット作れば、長方形。r ×　2πr = 2πr^2 
求めたい面積はその半分だから　πr^2

ってやつ。

コレを聞いた時はものすごく面白くて感動しましたけどね、私は。

私自身も小学生の時にこういう話を教科書で読んだ記憶は無いんですが、単純な公式暗記だけではこの面白さって伝わらないですよね。

どうせ「ゆとり」とか言って脱線するなら、こういう話で脱線させればいいのに、と思ってました。

naniwacchi · Answer

こんにちわ。

教え方がどうこうってのもあるとは思うのですが、単純に「覚えにくい」「混同しやすい」というのもあるような気がします。

面積の公式をみたときに、三角形などでは出てくる変数が 2つあります。
・三角形であれば、「底辺」と「高さ」
・長方形であれば、「縦」と「横」
・台形は、3つでてきますね。＾＾；

いずれの場合も、縦方向と横方向でそれぞれ変数が出てきます。
ところが、円には「半径」という 1つの変数しかありません。

さらに、「円周」という他の図形ではわざわざ公式にはならない「周の長さ」という公式があって、これも「半径」という 1つの変数しか用いません。

円周率がどちらにも出てくるということも、両者を混同させてしまっているように思います。

結局「教え方が悪い」ということなのでしょうが、もうちょっと教わる方の気持ち（感じ方）をふまえた教え方をすれば変わるのかな？と思ったりします。

178-tall · Answer

> ... 円の面積を求める際、１１．９％の生徒が「半径×半径×円周率」という正しい公式でなく、円周の長さを求める「直径×円周率」や、「半径×円周率」で計算していた。.......

「円周率」を想起するのは天晴れですが、長さと面積とを識別できないらしい。
算数・数学の場合は、推論過程と結果暗記をセットで習得しないと実用に耐えない、のだと思います。
私見では、暗記ばかりに力点が置かれているという感じですけど、真実はよくわかりません。

もっとも、将来必要の無いことを無理やり教え込んでどうする、という疑念はあります。
価値が多様化した今どき、円の面積なんぞ計算できなくとも、何の支障も生じないのが大勢でしょうから。

その反面、社会に出てからの場面を仮想してみると、問題によっては、一から推論をスタートして自身の体系を体得せねばならないこともあるでしょう。
そんなとき、「二位ではいけないんですか？」などといって、人の後追いばかりして済むとは限りません。

教育業界にとっては、中庸をとり難い難問なのでしょう。

parts · Answer

考えてみると、これに限らず統計要素が最近は多いですね。それなのに、基礎学力は伸びないというのは皮肉かもしれませんね。

いくつも理由はあると思いますが、

例えば、我々の頃は小学校中学校は週休が2日ではなく土曜日は午前中に授業がありました。
その分、勉強をする時間は多かったのです。また、今でいう生活的な授業は少なく、小学校なら算数、国語、理科、社会が基本授業でした。それに、図工、体育、家庭科などの実技授業があったのです。

今は、1～2年生が社会と理科を生活とし、来年からは小学校で英語が仲間入りします。しかし、授業が増えても、週休二日は続くでしょうし、課外授業や特別授業は今後も増加するでしょう。

即ち、覚える授業に割かれる時間は年々減少している可能性が高いのです。文科省や政治家、エリート官僚がどういうビジョンで10年後や20年後、彼らが社会人になった時を想定し、どう活躍して欲しいのか分かりませんが、基本教育に理想を持ち込みすぎた結果、基礎的な覚える授業をするのか、それともゆとりのある発展的な教育を目指すのか、分からなくなった迷走状態にあるというのが今の結果に至ったのではないでしょうか？
学校に問題が提起されることも多いですが、少ない授業時間で先生も苦労しているのかもしれません。

元々は、日本の教育水準は高度であり、知的であるとされていましたが、今は見る影もありません。最近は塾が台頭していますが、大きな学習塾が現れる前の方が、日本は学力があった訳ですしね。

ちなみに、メールがいくら早く打てても、そのメールがどのように成り立っているかを知る人が少なければ、メールを扱うサーバは使えなくなります。技術がいくら発展し、子供がその恩恵を受けられるようになっても、その子供が、自分達の子供のために、次はこれをより発展させようと思い、勉強をしなければ未来はないのです。
これに似た話は、ソニーの創業者の一人である伊深大氏が生前に述べていますが、社会基盤が出来たことで、社会基盤の恩恵に甘んじ、努力をしない人が増えているのです。そこを教育者や家庭、または社会が支え底上げするべきなのですが、今は子供に対する環境に関しては少子高齢化によって、子供が貴重な存在となり甘やかし逆回転しています。

興味は、重要ですがその興味を将来の仕事に結びつけられない人が増え、衰退に向かっているのです。

だって、勉強しなくても生きていける。そんな社会です。円の面積など大人になったら使わないじゃないか？そんな社会です。大人もそれを述べてしまうことがあります。子供はそれを見れば、勉強などそこそこでいい。円の面積など求める必要はないと思うようになります。長く続いた不景気なども影響しているのかもしれませんね。学歴も役に立たないと思われる時代になりましたしね。

私の頃は、円の面積が求められないなど、恥ずかしいことと思う人が多かったものです。
だから、努力してきた。それでも出来ない人は、それを話に出したりはしなかった。周りもそれは察したものです。今は、それは必要ない人だから分からなくて良いのだと容認される。それで良いのでしょうか？

私個人の感情を言えば、その感情そのものが、躓く原因ではないかと思いますが・・・大人になってやっと子供のころは考えもしなかった興味を持つことも人生では多々あります。そのときに、苦手意識を子供時代から持っていることが基礎である興味の対象と、苦手を克服した経験のある興味の対象では、大きくその後の人生は変わるように思います。
誰もが、それを考慮して今ではなく将来のためだと思って勉強するようになれば、いろいろ変わるのではないかなと思いますね。

nuisance1 · Answer

難しくかんがえるからいけないのであって、円の面積は二等辺三角形の面積を出せればいいのにと思いますね。先生の説明が良く無いのでしょう。

１、円周は円周率＊２＊半径

２、高さは　半径だから

直角三角形の面積は　＝円の面積　　（　２＊円周率＊半径）＊高さ（半径）/２

houjutucho · Answer

「ゆとり教育の弊害である」という回答を、期待しているのでしょうか？
コレって間違いですよ。

正しくは、ゆとり教育の導入を決めた
旧文部省(現文部科学省)の、無責任さが引き金になっています。

確かに詰め込みと言われた時代に対し、学校での授業時間は減りましたが
その代わりに児童・生徒は、学習塾で受験に必要な内容を現在(いま)まで以上に
集中的に詰め込んでいますし
教諭(教師)は、あらゆる事柄に対し
報告書(報告内容は同じなのに、報告先によって書式を変える必要アリ)の提出を求められて
授業時間以外は、報告書の作成に時間をとられて
児童・生徒への指導に費やす時間が、少なくなった
この事を受けて、文科省の役人のダレが
ゆとり教育の導入が、間違っていたと
認めましたか？

だからこそ、旧文部省(現文科省)の無責任さが
問題になるべきなのです。

politeness · Answer

＞中３の数学Ａでは、比較問題として円柱の体積を求める問題が出題された。数学Ａ全体の正答率が６６．１％なのに対し、この問題の正答率は４３．２％。

数学Ａは全体的に簡単な問題ばかりです。まして円柱の体積は中一で学習します。この数字を見て愕然としました。学力低下もここまで進んでいるんですね。

本題に入ります。四角形や三角形は理屈である程度公式を覚えることができます。例えば、四角形の面積は縦×横、三角形の面積はその半分になるということは理屈でも分かります。周の長さも辺を足せばよいということはすぐに分かります。しかし、円の場合、周の長さも面積もなかなか理屈で覚えることはできません。（もちろん厳密には理屈は存在しますが・・・）だからつまずいてしまうのではないでしょうか。

とにかく公式を覚えるしかありません。公式を覚える努力が不足しているように思えます。高校の数学・物理・化学では公式がたくさん出てきます。それに比べると円の公式は易しいです。

yukaru · Answer

円関係は数学では超使われます

それを中３で小６の問題で解けないということは

元々解かなくていい人種なのでしょう

円の公式って証明というよりは単純な暗記ですから、覚えようとして覚えならいはずはないはずだし
逆に暗記することに拒絶反応がある理系思考なのかもｗ

たぶん彼らも円の面積なら求められるとは思いますが、データ無いし

円の面積でつまずく理由

円の面積って、円周率を理解する必要がありますよね。

公式を丸暗記しよう（というより教師がさせよう）とするからだと思います。

いまの教科書にどのような記述がされているのかが分からないのですが、そもそも「円周率」が何か？と言う話が欠落しているんじゃないでしょうかね。

この回答への補足

こんにちわ。

> ... 円の面積を求める際、１１．９％の生徒が「半径×半径×円周率」という正しい公式でなく、円周の長さを求める「直径×円周率」や、「半径×円周率」で計算していた。

考えてみると、これに限らず統計要素が最近は多いですね。

難しくかんがえるからいけないのであって、円の面積は二等辺三角形の面積を出せればいいのにと思いますね。

「ゆとり教育の弊害である」という回答を、期待しているのでしょうか？

＞中３の数学Ａでは、比較問題として円柱の体積を求める問題が出題された。

円関係は数学では超使われます

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