A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
(1) AB=10cm、AE:EB=3:2 なので AE=6cm、EB=4cm
∴ △AEC:△ABC=3:5 ・・・・・・(A)
△AECに 三角形の角の二等分線と比の定理を適用して ∠AEF=∠CAF だから
EF:FC=AE:AC=3:4
∴ △AEF:△AEC=3:7 ・・・・・・・・・・・・(B)
(A)(B)から △AEF:△ABC=(3*3):(5*7)=9:35
(2) △BACに 三角形の角の二等分線と比の定理を適用して ∠ABD=∠CBD だから
AD:CD=AB:CB=2:3
∴△ABD:△ABC=2:5 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(C)
△ABPと△EBPで BP共通、∠APB=∠EPB=90°、∠ABP=∠EBP
1つの辺をその両端の角がそれぞれ等しいので △ABP≡△EBP ・・・・・(D)
従って、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので BE=AE=2 (cm)
∴EC=BC-BE=1 (cm)
∴△ABE:△ABC=2:3 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(E)
(D)より △ABP≡△EBP なので △ABP=△EBP
∴△ABP:△ABE=1:2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・(F)
(E)(F)から △ABP:△ABC=1:3 ・・・・・・・・・・・・・・・・・(G)
(C)(G)から △ADP=△ABD-△ABP =(2/5-1/3)△ABC =(1/15)△ABC
∴BP:PD=△ABP:△ADP=(1/3):(1/15)=5:1
(3) 点Gは△ABCの重心なので、AG:AD=2:3
また、EF∥BC なので AE:AB=AF:AC=2:3
△AEFと△ABCは 3組の辺の比がすべて等しいので △AEF∽△ABC で相似比は 2:3
(△AEF∽△ABCの証明は、他の2つの相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」「2組の辺の比が等しくそのはさむ角が等しい」でも示すことができます。)
∴ △AEF:△ABC=2^2:3^2=4:9
GD:AG=1:2 なので、△DEF:△AEF=1:2
∴△DEF=(1/2)*(4/9)△ABC =8 (cm^2)
また BE:AE=1:3 なので △EBC=(1/3)△ABC =12 (cm^2)
添付図が不明瞭なところがありますので、数字や記号などの読み取りミスがありましたら ご容赦ください。
No.5
- 回答日時:
1問目
三角形ABCの面積を1として、面積はこれに対する比率で記述します。
三角形AECの面積はAE:AB=3:5より3/5です。
また線ADは∠Aの二等分線の為、Fから線AC、AEに垂線を下ろすと長さは等しくなります。すなわち三角形AFCとAFEは高さが同じということです。従って面積比は底辺の比より4:3となります。
従って三角形AECとAEFの面積比は7:3です。
以上から三角形AEFの面積をXと置くと
3/5 : X = 7 : 3
X=9/35
です。
従って答えは 9/35 : 1
= 9 : 35
2問目
三角形ABCの面積を1として、面積はこれに対する比率で記述します。
線BDは∠Bを二等分しているので、Dから線AB、BCに下ろした垂線の長さは等しくなります。すなわち、三角形ABDとBCDは高さが同じということです。従って面積比は底辺の比2:3です。
従って三角形ABDの面積は2/5です。
また、三角形ABFとBEFは、点Fで同じ角度(90°)、点Bでも同じ角度、かつ線BFを共有するので合同です。従って線BEの長さは2cmです。BE:BC=2:3より三角形ABEの面積は2/3です。三角形ABFとBEFは合同(=同じ面積)のため、三角形ABFの面積は2/3 ÷2= 1/3 です。
従って三角形AFDの面積はABD-ABF=2/5-1/3=1/15です。
従って三角形ABFとAFDの面積比は1/3 : 1/15 = 5 : 1 です。これらの三角形は頂点をAとすると同じ高さなので、底辺の比はBF:FD=5:1です。
これが求める答えとなります。
3問目
重心は中線を2:1で分割し、またEFとBCは平行なので、三角形AEFの面積は30×底辺2/3×高さ2/3=40/3cm2です。従って台形EBCFの面積は30-40/3=50/3cm2です。
重心は中線を2:1し、底辺の長さも比例するので、線EFとBCの比は2:3です。従って、三角形EBD+FDC+DEFの面積は台形EBCF、また三つの三角形は同じ高さであることから、三角形DEFの面積と、三角形EBD+FDCの面積の比は線EFとBCの比と同じ2:3となります。従って三角形DEFの面積は台形EBCFの2/5となります。
従って三角形DEFの面積は50/3 × 2/5 = 100/15 = 20/3cm2となります。(一つ目の答えです)。
上記の通り線EFとBCの比は2:3、EFとBCは平行なので、三角形EBCの面積は台形EBCFの3/5となります。
従って三角形EBCの面積は50/3 × 3/5 = 150/15 = 10cm2となります。(ニつ目の答えです)。
以上です。
No.4
- 回答日時:
2問目は、
△ABPと△EBPは合同なので、BE=2、EC=1で
△ABE:△ACE=2:1
BDは∠Bの二等分線なので、点Dは辺ACの2:3の内分点で、
△AED:△CED=2:3
よって、
BP:PD=△ABE:△AED=2:2/5=5:1
No.3
- 回答日時:
三問目。
Gは重心なのでAG:GD=2:1です。また△AEFと△ABCは相似でその面積比は4/9:1になります(辺の長さの比が2/3:1なので)。従って
△ABC:△AEF:△DEF=1:4/9:4/9*1/2
=9:4:2
になります。
また、AB:AE*=1:2/3であり、BD=DCなので
△ABC:△ABD:△EBC=2:1:1/3
になります。
No.2
- 回答日時:
とりあえず一問目。
AE=AC=6cm なので△AECは二等辺三角形です。また、三角形AEFとACFは合同なのでEF=FCです。従って△AEFの面積は△AECの半分です。
また、△AECの面積はは△ABCの3/5ですから、△AEFの面積は△ABCの0.5*3/5=3/10です。
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