独占企業の利潤最大化問題

下記の問題が解けません。
どなたかご教授頂けないでしょうか？

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完全競争市場において、X財の需要関数と供給関数がそれぞれ、
以下のように表されているとする。

　D＝－２P＋２３０（D：X財の需要量、P：価格）
　S＝２P－２０（S：X財の供給量）

このとき、生産者理論に関する以下の各問に答えよ。

設問１（※設問２は分かるので、設問１だけ書きます）
この市場におけるX財の供給が1社の企業に独占された場合の価格と生産量を答えよ。

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MC＝MRを使って解くことは分かるのですが、MCを求めることができません。
初心者なので、途中の解説も入れて頂けると助かります。
よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/03/06 20:40

独占企業の費用関数をCとします。

つまり生産量Xの時の費用がC(X)。

価格Pの時にXだけ生産すると利潤は

Π(X, P)=PX-C(X)。

利潤最大化の必要十分条件は、Cに関するよくある仮定の下では、

∂Π(X, P)/∂X=P-C '(X)=0。

C '(X)=MC(X)だからこの条件を書き換えると

(1) MC(X)=P。

ここで、供給関数Fの定義は「各価格Pに対して、価格Pの下で利潤を最大にする生産量F(P)を対応させる関数」だから、X=F(P)は(1)を満たす。
つまりXという記号を使わないで述べると

(2) MC(F(P))=P

あるいはMCの逆関数MC^(-1)を用いて

(3) F(P)=MC^(-1)(P)

が全てのPについて成り立つということです。

本来、供給関数Fは、(2)または(3)を満たす関数として費用関数Cから導き出されます。
質問にあるような問題では、費用関数を抜きにして、供給関数Fの具体的な形があらかじめ仮定されています。
その場合でも、(2)または(3)によって、与えられた供給関数Fから限界費用関数MCが導き出せることがあります。

この回答へのお礼

何度もお答えいただき、ありがとうございました。

お礼日時：2011/03/08 09:00

No.3 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/03/03 12:17

もしSの式が独占企業の供給関数を表すとすればその解説は以下のような意味です。

独占企業の供給関数をFとすると、Fは各価格Pに、Pの下での供給量すなわち「Pの下でその企業が利潤を最大にするような生産量」F(P)を対応させる関数です。
価格Pの時に生産量X=F(P)は利潤を最大化しているので（費用関数に関する一定の仮定の下では）MC(X)=Pです。
従って、X=2P-20をPについて解いて
MC(X)=P=(1/2)X+10。
従って
MC(X)=(1/2)X+10。

ちなみに、もしSの式が市場の総供給関数を表すなら、各企業iの供給関数をFi、限界費用関数をMCiとすると、全てのiについて生産量Xi=Fi(P)は
MCi(Xi)=P
を満たします。
普通の仮定の下ではMCiは単調ですから、
Xi=MCi^(-1)(P)。
よって、Sの式の意味は
S=2P-20=ΣXi=ΣMCi^(-1)(P)。
これをその解説通りに解けるのは、
ΣMCi^(-1)(P)=MC^(-1)(P)
の場合だけですよね。
これは一般には成り立たないでしょう。

この回答への補足

何度もご回答頂き、ありがとうございます。


＞価格Pの時に生産量X=F(P)は利潤を最大化しているので（費用関数に関する一定の仮定の下では）MC(X)=Pです。

X=F(P)からMC(X)=Pへの変形が分からないのですが、
詳しく教えて頂けますでしょうか？

補足日時：2011/03/05 22:14

No.2 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/03/03 11:24

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供給量Ｓを生産量ｘに置き換えると、供給関数はｘ＝２Ｐ－２０となることから、
逆供給関数は次のようになる。
　Ｐ＝(１／２)ｘ＋１０
限界費用ＭＣは供給関数の一部からなるので、次のように表される。
　ＭＣ＝(１／２)ｘ＋１０
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でも、Sの式は市場の総供給関数を表してるんですよね。
Pについて解いても、右辺がその独占企業の限界費用を表すとは言えませんよ。
そう言えるのは、Sの式が独占企業の供給関数を表してる場合だけです。

No.1 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/03/02 06:30

MCを求めるにはその独占企業の費用関数が分からないと。

この回答への補足

解説ではＭＣを以下のようにして求めているのですが、
内容が理解できずに困っています。

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供給量Ｓを生産量ｘに置き換えると、供給関数はｘ＝２Ｐ－２０となることから、
逆供給関数は次のようになる。
　Ｐ＝(１／２)ｘ＋１０
限界費用ＭＣは供給関数の一部からなるので、次のように表される。
　ＭＣ＝(１／２)ｘ＋１０
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どなたか分かりやすく解説して頂けると助かります。

補足日時：2011/03/02 23:02