No.1ベストアンサー
- 回答日時:
惜しいところまでいっています。
ちょっと僕なりの解き方を。
これはまずPAについてときます。
PA=-(PB+3PC)/2
ですね。これをさらに変形して
PA=-(PB+3PC)/(3+1) × (3+1)/2 ←(PB+3PC)/(3+1)を作りだした
(PB+3PC)/(3+1)はPDそのものですよね。(直線PA上にりかつBC上にあるので)
∴PA=-PD/4
となるわけです。
ゆえにAP:PD=1:4となります。
No.4
- 回答日時:
stripeさん、こんばんは。
ONEONEさんの完璧な回答がありますので、もう言うことなしなんですが、
>点Pは動点なので、点Aを基準にして条件を書き直して、
-2AP+AB-AP+3(AC-AP)=0
∴AP=(AB+3AC)/6
ここまであっているかよくわからないのですが、
これ、私が以前位置ベクトルで考えよう!といったからでしょうか。
私は、位置ベクトルで考えるのが好きで、stripeさんの変形、OKですよ!
こう変形すると、#3の回答のとおり、
AP=(AB+3AC)/6
また、ADはAPの実数倍(同じ直線上で、始点がAで同じ)
とかけますから、実数kを用いて
AD=kAP=k(AB+3AC)/6=(k/6)*AB+(k/2)*AC
のように、ADはABとACでもって表せます。
また、点DはBC上の点なので、BD:DC=m:(1-m)
とおくと、mは実数
AD=(1-m)*AB+m*AC
のようにかけます。
この2式から、k,mを消去していけばよい、というやり方になりますね。
位置ベクトルを使うと、上のようになりますが、
この三角形の内部の点を表すベクトルの式について、
参考になりそうなページがあるので、載せておきたいと思います。
ここの例では
2PA+3PB+4PC=0(0ベクトル)
となる場合を考えています。
このとき、APの延長線と、辺BCとの交点Dは
BCをどのようにない分するか、などが分かります。
ONEONEさんの#1の回答のように、まずPAについて変形します。
PAを右辺に持っていきます。
3PB+4PC=-2PA
ここで、この両辺を7で割った式は
(3/7)PB+(4/7)PC=(-2/7)PA
↑
この左辺は、Pを始点としBCを4:3に内分する点を表す。
BCを4:3に内分する点をDとすると
(3/7)PB+(4/7)PC=(-2/7)PA=PD
ですから、
|AP|:|PD|=7:2
だということも分かりますね。
#1でONEONEさんが、(PB+3PC)/(3+1)を作りだした、と書かれているのは、こういうことなんですね。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください。
参考URL:http://www.nikonet.or.jp/spring/iti/iti.htm
どうもありがとうございます!
これをといてるときは位置ベクトルはあまり意識してなかったんですけど、
あれから位置ベクトルは使うようにしているので、あまり意しきしてなかったけどつかったのかもしれません!
でもこの問題の時はPを始点にしたほうがよいんですね~。
URLもPを基点にしてますね~。
よくわかりました。
ありがとうございました!
No.3
- 回答日時:
stripeさんの解き方で行くと
AD=kAP=k(AB+3AC)/6 とおけてまた
DがBCをm:1-mに内分するとして
AD=(1-m)AB+mAC
と置けます。
AB、ACは一次独立なのでそれぞれの係数を比較し
1-m=k/6、m=k/2
∴k=3/2、m=3/4
AP=(2/3)AD
AP:AD=2:3よりAP:PD=2:1となります。
ありがとうございます!
わざわざ始点を動かさなくても解けたんですね~。
僕がやったやりかただと係数を比較したりしてとくんですね。
よくわかりました。
ありがとうございました!
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