面素ベクトルについて質問です 位置ベクトル r↑=(x,y,f(x,y)) とすると ds↑=(∂r

面素ベクトルについて質問です

位置ベクトル r↑=(x,y,f(x,y)) とすると
ds↑=(∂r↑/∂x × ∂r↑/∂y)dxdy
=(-∂f/∂x,-∂f/∂y,1)dxdy ・・・①
また 位置ベクトルの独立変数を変えて r↑=(g(y,z),y,z) として
ds↑=(∂r↑/∂y × ∂r↑/∂z)dydz
=(1,-∂g/∂y, -∂g/∂z)dydz・・・②
となりますが①と②は同じですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/04 08:21

当然違います。

例えば
　S:ax+by+cz=1 , a,c≠0
とすると
　f=(1-ax-by)/c
　dS=<a/c,b/c,1>dxdy

また、
　g=(1-by-cz)/a
　dS=<1,b/a,c/a>dydz
だから。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/04 09:18

「同じ」という言葉が何を意味しているか不明です。

r↑=(x,y,f(x,y)) と r↑=(g(y,z),y,z) が同値だという条件下では
① と ② は同じ dS を表していますが、
右辺の式が異なるので、同一の等式ではありません。
何を質問しているんですか？