数学に腕の覚えのある方へ

f(x)=x*TAN(1/x)　が少なくとも　x>1　においては単調減少関数であることを示すのは可能でしょうか。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/25 23:43

「g'(t)の分子を取り出した式」が 2t - sin(2t) なので、

これが正であることを示すのに、微分して計算を進めることが正しいのか？
という疑問が残る。
lim[θ→0] (sinθ)/θ の値と sinθ の定義にまつわる例のいつものアレ。
ここでの sinθ の定義を明示しないと、循環論の有無が判定できない。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/06/25 23:23

このままで導関数を計算しても面倒そうなのでt=1/xと置換して、0<t<1で(1/t)tan(t)が単調増加関数であることを示すほうが簡単そう。

g(t)=(1/t)tan(t)とおきg'(t)を計算、得られた式の分母>0であることから分子>0が<t<1で成り立つことを示す。
g'(t)の分子を取り出した式の導関数とt=0の値からg'(t)>0が導けます。
実際に計算するとcos(t)≠1,t>0であれば単調減少となるようです。

この回答への補足

ご回答、ありがとうございます。
早々の返信を頂いたのにもかかわらず、遅くなってしまいすみません。。

rnakamraさんが提示された解法についてなのですが、少し気になる点があります。

＞g'(t)の分子を取り出した式の導関数とt=0の値からg'(t)>0が導けます。
＞実際に計算するとcos(t)≠1,t>0であれば単調減少となるようです。

おそらくこれによると、(分子)’=2-2cos2t＞0　のようにg’(t)の符号が判別されるのでしょうが、
「t>0」、すなわちx>0でf(x)が単調減少であるというのは、どのようにわかったのでしょうか。

また、この解法で行くと、t≠0であれば常にg(t)は“減少しない”関数となると思うのですが、
f(x)の概形を推察するに負の領域では、x<0,tan(1/x)<0より、（減少ではなく）増加関数となることが
あると予測できます。これらの関係についてご説明頂けませんでしょうか。

補足日時：2011/06/26 16:53