等速円運動

地球を回る月の軌道はほぼ円形であり、平均半径3.84×10＾８ｍである。月が完全に地球の周りを1回転するには２７．３日を要する。
(ａ)月の平均軌道速度を求めよ。
(ｂ)月の向心加速度を求めよ。
どなたかよろしくお願いいたします。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/28 06:06

こんにちは。

中心座標を（０，０）とする等速円運動は、Ｘ座標とＹ座標に分けて、当然ながら
ｘ　＝　ｒcos（２πｔ／Ｔ　＋　φ）
ｙ　＝　ｒsin（２πｔ／Ｔ　＋　φ）
と書けます。
ｒ：軌道半径（＝　３．８４×１０^8　ｍ）
ｔ：時刻［ｓ］
Ｔ：周期（＝　２７．３×２４×６０×６０　ｓ）
φ：定数（無次元）

（ａ）
速度のｘ方向成分を　ｖx、ｙ方向成分を　ｖy　と置けば、
ｖx　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　－２πｒ／Ｔ・sin（２πｔ／Ｔ　＋　φ）
ｖy　＝　ｄｙ／ｄｔ　＝　２πｒ／Ｔ・cos（２πｔ／Ｔ　＋　φ）
となって、２次元ベクトル（ｖx，ｖy）が「速度」です。
「速度」なので、本来は、これで終わりです。

「速さ」は、（ｖx，ｖy）の絶対値なので、
｜ｖ｜　＝　√（ｖx^2　＋　ｖy^2）　＝　２πｒ／Ｔ
　＝　２　×　３．１４２　×　３．８４×１０^8　÷　（２７．３×２４×６０×６０）　ｍ／ｓ

（ｂ）
加速度のｘ方向成分を　ｖx、ｙ方向成分を　ａy　と置けば、
ａx　＝　ｄｖx／ｄｔ　＝　－（２π／Ｔ）^2・ｒcos（２πｔ／Ｔ　＋　φ）
　＝　－（２π／Ｔ）^2・ｘ

ａy　＝　ｄｖy／ｄｔ　＝　－（２π／Ｔ）^2・ｒsin（２πｔ／Ｔ　＋　φ）
　＝　－（２π／Ｔ）^2・ｙ

つまり、ａx、ａy がそれぞれ　ｘ、ｙ　に負の定数をかけたものになっています。
これは、加速度が中心（０，０）に真っ直ぐ向いていることを見事に示しています。

加速度の絶対値は、
｜ａ｜　＝　√（ａx^2　＋　ａy^2）　＝　（２π／Ｔ）^2・√（ｘ^2　＋　ｙ^2）
　＝　（２π／Ｔ）^2・ｒ
　＝　（２π／（２７．３×２４×６０×６０））^2　×　３．８４×１０^8

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/06/27 22:50

単位をm,sにして計算しましょう。

(a)
1周の距離を1周の時間で割ればよい。
1周の距離=2×π×半径=2×π×3.84×10^8m
1周にかかる時間=27.3日×24時間/日×60分/時間×60秒/分

(b)
等速円運動の向心加速度aは
a=v^2/r
で求められる。vに(a)で得られた平均速度をrに半径を入れればよい。

この問題は計算するのに根気が要るだけの問題です。