ウラン235（半減期7億年）の崩壊個数の計算

1kg中のウラン235は1年でどれくらい崩壊するかという問題なのですが、自分の計算が間違い出なければ、7億という数が指数に乗ってしまい、関数電卓でも計算できないほどの値になってしまいます。

学校で出された課題だったのですがこれはそれなりの答えがでる問題なのでしょうか？

No.5 回答者： ok-2011 回答日時： 2011/11/26 07:58

ANo.2の続きです．

ANo.1への補足にある「指数関数の式に則って崩壊していくという状況」とは
m = m0 (1/2)^(t/T)
のことなのでしょうね（T は半減期）．
ここで
2 = e^(ln 2)　（ln は自然対数）
なので，
m = m0 {e^(-ln 2)}^(t/T)
　= m0 e^{-(ln 2)t/T}.
t/T = 1/(7×10^8) << 1 のときは，じゅうぶんな精度で
m = m0 [1-{(ln 2)t/T}]
　= m0 - m0{(ln 2)t/T}.
崩壊した分Δmは
Δm = m0 - m
　　= m0{(ln 2)t/T}．

No.4 回答者： ere_Elba 回答日時： 2011/11/24 20:36

普通、次のような計算を行います。

∫[0～1]{ln(2)/(7・10^8)}・{(1000/235)・6.02・10^23}・e^[-{ln(2)/(7・10^8)}・t]dt
={(1000/235)・6.02・10^23}・（1-e^[-{ln(2)/(7・10^8)}・1]）
=2.537・10^15

簡単に説明しましょう。
全てのウラン235が崩壊すると
ウラン235の原子数＝原子核数＝1kgが
なくなるので、崩壊数は、
{1000(gr)/235(gr/モル)}・6.02・10^23(個/モル)
＝2.5617021276596・10^24(個)＝2.5617021276596・10^24(崩壊)

しかし、一年後に残っているウランの個数は
2.5617021276596・10^24(個)×[(1/2)の{1(年)/7億(年)}乗]
＝2.561702125123・10^24(個)

従って、一年間に崩壊するウラン235の数
=2.5617021276596・10^24(個)
-2.561702125123・10^24(個)
＝2.537・10^15(個)＝2.537・10^15(崩壊)

No.3 回答者： noname#157218 回答日時： 2011/11/23 23:12

　当然普通に計算できます。

ただし、かなり桁数の多い数値の計算ですので、いちいち生の数値を電卓に入れるのではなく、「ＡのＮ乗」という表記にして、「Ａ」だけを（有効数字を３ケタぐらいにして）電卓で計算し、「Ｎ乗」の部分は別に計算してください。

　なんせ、原子核の数は「アボガドロ数」（＝6×10^23　：10^23は「10の23乗」を表します）の世界ですので・・・。

　本題に入ります。
　放射性崩壊する数は、現在の原子核数をNとすると、崩壊定数λというものを用いて

　　　　dN/dt　＝　λ　×　N　　　（１）

と書けます。ここで、崩壊定数λは半減期をTとして

　　　　λ　＝　ln 2 / T　　　（２）

となります。
　どうしてこうなるかは、原子物理の基本の本に載っていますし、例えば下記を参照ください。

http://ameblo.jp/kazuos/entry-10839073797.html

　ここで注意することは、λは時間の逆数の単位（/年、/秒など）、Tは時間の単位（年、日、秒など）であり、（１）（２）の計算をするときに「時間」の単位を統一することです。

　ご質問の場合には、半減期も崩壊数も「年」単位で求めるので、「年」で統一できますね。

　ln 2は、自然対数（「e」を底とする対数）です。

　　　　ln 2　＝　log2/log(e)　＝　0.693

　これを使えば、現在N0個ある原子核が、１年間に崩壊する数は、

　崩壊数/年　＝　N0　×　λ
　　　　　　＝　N0　×　ln 2 / T　
　　　　　　＝　N0　×　0.693 / 7億
　　　　　　≒　N0　×　9.9　×　10^(-10)　　　（３）

　次に、1kg中のウラン235には、何個の原子核があるか、という「N0」を求める必要があります。
　1モル（ウラン235の質量数「235」をグラムにした量）の原子核数が「アボガドロ数」（＝6.02×10^23）であるということを利用します。
　1kgは約4.26モル（≒1000ｇ÷235g）ということから、1kg中のウラン235に含まれる原子核数は、

　　　　N0＝　6.02×10^23　×　4.26モル　＝　2.56　×　10^24　(個)　　（４）

（３）と（４）から、崩壊数は、

　　　　崩壊数/年　＝　2.56　×　10^24　(個)　×　　9.9　×　10^(-10)
　　　　　　　　　＝　2.53　×　10^15　(個)

ということですね。

　ものすごい数！　と思えますが、現在の原子核の「10^(-9)」（＝0.0000001%）ということです。これが１年間の累積数であり、１秒間にすると、１年＝3.15×10^7（秒）ですので、

　　　　崩壊数/秒　≒　8.03　×　10^7

となります。約8千万ベクレルということですね。（ベクレルは１秒間あたりの崩壊数）

　急いで計算したので、桁数などに計算間違いがないとよいのですが・・・。

No.2 回答者： ok-2011 回答日時： 2011/11/23 20:07

|x| << 1 に対して e^x ≒ 1+x

を使えばよいでしょう．

ひょっとして
|x| >> 1 に対して
e^(x) を計算しようとしていませんか？

No.1 回答者： nekonynan 回答日時： 2011/11/23 19:26

条件が悪ければ全部崩壊してしまいますね・・・・１ｋｇ有れば核爆弾は作れますから

この回答への補足

説明不足でした。
崩壊は全てα崩壊で連鎖反応等は一切考えません。つまり、指数関数の式に則って崩壊していくという状況です。

補足日時：2011/11/23 20:03