弾性衝突に関する問題

中性子が原子核と弾性散乱する場合において、中性子のエネルギーＥｎ、質量をｍ、重心系での中性子の散乱核をｂ、原子核の質量をＭとすると原子核の受ける反跳エネルギーＥは次式で与えられる。

Ｅ　＝　２ｍＭ*(1-cos b)*En/(m+M)＾２

と以上のように教科書に書いてあるのですが、上記の公式を運動エネルギーの式や運動量の式を用いて導きたいのですが、どなたか解説おねがします。私は、高校の時に物理を選択していなかったため、できれば丁寧に解説していただけるとありがたいです。

No.2 回答者： Quarks 回答日時： 2012/08/26 00:06

速度ｗで動いている重心Ｇから観察したとき、どのような現象が見られるかを考えてみます。

　
重心は、中性子Ａと原子核Ｂとを結ぶ線分上に有ることは明らかです。
そして、どの瞬間でも
　ＡＧ：ＧＢ＝Ｍ：ｍ
の関係にありますから、Ｇから見たＡ，Ｂの速さは
衝突前：
　ｖ'：ｗ＝Ｍ：ｍ　　式（１）
「　また、Ｇから見たＡの速さｖ'は、相対速度の考え方から
　ｖ'＝ｖ－ｗ　　式（２）　」
（１），（２）から
　ｗ＝(Ｍ/(Ｍ＋ｍ))・ｖ　式（３）
Ｇから見た、衝突後のＡ，Ｂの速さは
　ｕ：Ｕ＝Ｍ：ｍ　　式（４）
で、速度ｖ'と速度ｗ、速度ｕと速度Ｕは、互いに正反対向きの速度となっています。
　
ベクトルｕ，Ｕをそれぞれ、重心系（x,y座標として示しました）で成分表示すると
　ベクトルｕ＝（ｕ・cosｂ，ｕ・sinｂ）
式（２）を考慮すると
　ベクトルｕ＝（(Ｍ/ｍ)Ｕ・cosｂ，(Ｍ/ｍ)Ｕ・sinｂ）
また、図から明らかなように、Ｂの速度ベクトルは
　ベクトルＵ＝（－Ｕ・cosｂ，－Ｕ・sinｂ）
　
さて、中性子と原子核との衝突は完全弾性衝突と考えて良いですから、重心は、衝突の前後でその速度を全く変えることはありません（系全体の力学的エネルギーは保存されます）。つまり、衝突後も、重心の速度はベクトルｗ（ｘ軸の正の向きの速度）のままなのです。
　
このことを考慮して、衝突後のＡ，Ｂの速度を、静止している観察者から見た速度（ｕ'とＵ'）として表現してみますと
　ベクトルｕ'＝（(Ｍ/ｍ)Ｕ・cosｂ＋ｗ，(Ｍ/ｍ)Ｕ・sinｂ）　式（５）
　ベクトルＵ'＝（ｗ－Ｕ・cosｂ，－Ｕ・sinｂ）　　　　　　式（６）
となります。衝突後のＡ，Ｂの力学的エネルギーの和Ｅは
　Ｅ＝(1/2)ｍ・ｕ'^2＋(1/2)Ｍ・Ｕ'^2
ここで
　ｕ'^2＝（(Ｍ/ｍ)Ｕ・cosｂ＋ｗ）＾２＋((Ｍ/ｍ)Ｕ・sinｂ）^2
　Ｕ'^2＝（(ｗ－Ｕ・cosｂ)^2＋(－Ｕ・sinｂ）^2
です。　
衝突が完全弾性衝突ですから、このＥは、衝突前の中性子Ａの力学的エネルギー(1/2)ｍ・ｖ^2と一致しているはずです。
　Ｅ＝(1/2)ｍ・ｕ'^2＋(1/2)Ｍ・Ｕ'^2＝(1/2)ｍ・ｖ^2　式（７）
式（４）,（５）,（６）を（７）に代入して、Ｕを求めると
　Ｕ＝(ｍ/(Ｍ＋ｍ))・ｖ
となります。
これを、改めて、衝突後のＢの力学的エネルギー
　(1/2)Ｍ・Ｕ'^2
　＝(1/2)Ｍ・{（(ｗ－Ｕ・cosｂ)^2＋(－Ｕ・sinｂ）^2}
に代入して計算すると、所期の値が得られます。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2012/08/25 20:15

原子核の静止系(実験室系)における重心の速度を求める

→重心系で中性子・原子核の速度を求める
→運動量・エネルギー保存則から衝突後のそれぞれの速度を求める
→実験室系での原子核の運動エネルギー(反跳エネルギー)を求める

という流れですね。