こんにちは。tumftmkといいます。
位相についての質問です。
先日、教科書に次のような記述がありました。
A={(x1,x2,…,xn,xn+1)∈R^(n+1) | xn+1≧0 , (x1)^2+…+(xn)^2+(xn+1)^2=1 } (n次元上半球面)
B={(x1,x2,…,xn)∈R^n | (x1)^2+…+(xn)^2 ≦ 1 } (n次元球体)
とする。
このとき、写像 f を
f :A→B、(x1,x2,…,xn,xn+1)|→ (x1,x2,…,xn) (射影)
とすると、これは同相写像である。
よってAとBは位相同形である。
このようにありましたので、「fは同相写像」をきちんと証明しようとしました。
fが全単射、fが連続 までは分かりました。
そしてε-δ論法を使ってfの逆写像が連続になることを示そうとしましたが、うまく出来ませんでした。
(直感的には分かるのですが…)
fの逆写像を f^(-1) とすると
f^(-1) :B→A 、(x1,x2,…,xn,)|→ (x1,x2,…,xn, [1-{ (x1)^2+…+(xn)^2 }]^(1/2) )
となります。
f^(-1) が連続 ⇔ 各成分が連続 なので、(n+1)成分について考えて、
g :B→R 、(x1,x2,…,xn,)|→ [1-{ (x1)^2+…+(xn)^2 }]^(1/2)
の連続性さえ示してしまえば証明が終了する、というところまでは分かりました。
(残りの成分については、射影になっているので連続であることは分かります。)
この g についてε-δ論法を使ってみたのですが、どのようにδをとればよいのかが分かりません。
どなたか分かるかたがいましたら解答よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
Bのノルムを |...|_n であらわすとすると、
(1 -|x|_n^2)^0.5
の連続性を示せばいいわけですよね。
ノルム自身は次から容易に連続であることが分かります。
| |x|_n -|y|_n | <= |x-y|_n
よって
(1 -t^2)^0.5
が連続であることが言えれば、連続関数の合成は連続であることより、所望の連続性が示せます。
これをいうには、
1, s^2, \sqrt{s}
の連続性を言えれば、連続関数の和、合成は連続関数であることより、示せます。
なるほど、合成関数だと考えれば良かったのですね。
ノルムの連続性も分かりましたし、(1 -t^2)^0.5は1変数の関数なので連続性はすぐに示すことができました。
おかげ様で昨日1日中考えていたものがスッキリしました。
回答どうもありがとうございました。
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