こんにちは。位相についての質問です。
二次元ユークリッド空間上の単位円周
S = { (x,y) ∈ E^2 | x^2 + y^2 = 1 }
を考え、 S上の二点 p , q に対し、
d(p,q) = op と oq のなす角度 ∈ [0 , π] (op , oq はそれぞれ原点と p , q を結ぶ線分)
として、S上の距離を定めます。
このとき、ユークリッド空間からSに定まる相対位相 U と、距離dから定まる位相 Ud が一致することを示せ、というのが問題です。
まず、Ud⊂ U を示そうと思い、任意にA∈Udを取りました。
A∈Uを言うためには、あるユークリッド空間の開集合Bが存在して 「A = B ∩ S」 となっていることを言えばいいのですが、そのBの作り方がいまいち分かりません。
逆に U⊂ Ud を示そうと思いましたが、こちらもBの形がよく分からず示すことができませんでした。
イメージとしては同じようなものになることは分かるのですが...
うまく言葉にできず困っています。
分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
まず一般的な話として、距離空間から定まる位相の開集合Oの定義は、
全てのx∈Oに対して、あるe>0 が存在して、N_e(x)⊂O
ですから、
U_x∈O N_e(x)⊂O
が成立します。ここでN_e(x)はxのe-近傍
N_e(x)={ y | d(x,y)<e }
です。
また x∈N_e(x)ですから、明らかに
O⊂U_x∈O N_e(x)
です、よって
O = U_x∈O N_e(x)
すなわち距離空間から定義される位相の開集合はe-近傍の和集合で書けます。
だから近傍について考えればよいです。
角度による距離空間のxのe-近傍をN1_e(x) と書くことにしましょう。
すると図形的考察より、
N1_e(x) = N2_a(x)∩ S
a = 2sin(e/2)
であることが分かります。ここでN2_a(x)は2次元ユークリッド空間の距離から定まるxの
a-近傍です。
これを使えば、証明されたいことは容易に分かりますから、ご自身で仕上げてください。
なるほど、
距離空間から定義される位相の開集合はe-近傍の和集合で書ける
という事がポイントだったのですね。
私は、e-近傍だけなら図で考えて証明できたのですが、
一般的に「開集合⇒ e-近傍」は言えないのでその辺りで分からなくなっていました。
回答どうもありがとうございました。
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