【数学の問題】

AとBの2つのチームが試合を行い、

先に4勝したチームを優勝とする。

AがBに勝つ確立は1/2で、引き分けは無いものとする。

このとき、ちょうど6試合目でAが優勝する確率は？

また、優勝が決定するまでに行われる試合数の期待値は

何試合？

No.7 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/25 21:28

>優勝が決定するまでに行われる試合数の期待値は何試合？

４試合目できまる確率　(1/2)^4＝１／１６
Ａが勝つ場合とＢが勝つ場合のどちらも考えられるから　（１／１６）×２＝１／８
５試合目で決まる確率　４試合中３勝して５試合目で勝つから
　　　　　　　　　　4Ｃ3(1/2)^3(1/2)×(1/2)＝４×（１／２^5）＝１／８
　　　　　　　　　　（１／８）×２＝１／４　
６試合目で決まる確率　５／３２　（５／３２）×２＝５／１６
７試合目で決まる確率　6Ｃ3(1/2)^3(1/2)^3×(1/2)＝２０×（１／２^7）＝５／３２
　　　　　　　　　　　（５／３２）×２＝５／１６

試合数の期待値は
４×（１／８）＋５×（１／４）＋６×（５／１６）×７×（５／１６）
＝９３／１６

よろしくお願いします。

No.10 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/26 14:09

NO.3，No.8さん　回答ありがとうございます。

>>1/16 + 5/32 + 15/64 + 35/128 が 1 に等しいかどうかの吟味を怠っていることです。
>計算して 1 に等しくないことが確認できれば、回答を投稿できないはずですから。

確かに、1 に等しいかどうかの吟味を怠っていましたが、上記のこと非常に参考になりました。
今後は投稿前は必ずチェックしたいと思います。ありがとうございました。

No.9 回答者： Ishiwara 回答日時： 2011/12/26 12:25

パスカルのピラミッドを徹底的に理解すると、この種の問題は直観的に解けてしまいます。

Ａが６回で勝つ道筋は、５回終わって３：２であること、そして６回目に勝つことです。
５回で３：２である確率は5Ｃ2/２＾5＝１０/３２＝５/１６
ですから最終的に５/３２です。
もう一つの問題は、
４：０、４：１、４：２、４：３になる確率をそれぞれ求め、それぞれに４、５、６、７を掛けて足せば答が出ます。

No.8 回答者： OurSQL 回答日時： 2011/12/26 08:53

まず、乱暴な言葉遣いを連発してしまったことを、質問者様に深くお詫びします。

大変申し訳ありませんでした。
けっこう大切な話だと思いますので、参考にしていただければ幸いです。

日本シリーズ問題に関しては、クリアなさったと思います（ケアレスミスが1箇所ありますけどね）。
けれど、回答する前に 1/8 + 1/4 + 5/16 + 5/16 = 1 であることを確認していないとすれば、まだ不安が残ります。
日本シリーズ問題以外の、未知なるパターンの問題に遭遇したとき、やはり間違えて、その間違いを発見できない可能性があるからです。

No.2 の回答でいちばん問題なのは、確率や試合数の期待値を間違えたことではありません。
1/16 + 5/32 + 15/64 + 35/128 が 1 に等しいかどうかの吟味を怠っていることです。
計算して 1 に等しくないことが確認できれば、回答を投稿できないはずですから。

確率の分野に限らず、そういった基本的なことをマスターしてからの方が、回答者としては適任だと思いますけれど、私が決めることではありませんね（汗）

No.6 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/25 19:13

No.5さん　ありがとうございます。

>。○○○○××
>のように、５試合目までに決着が付いているケースも計上しているところに問題があるのだと思います。

上の場合でだめなケースは５通りなので、それを除いて、５試合目までに３勝して６試合目に勝つと考えれば

5Ｃ3(1/2)^3(1/2)^2×(1/2)
＝１０×（１／２^5）×（１／２）
＝５／３２

この回答への補足

たくさん考えて下さって、本当に感謝です!

答えも先に出しておいた方が確認しやすいと思いましたので…

1つ目の質問…5/32

2つ目の質問…93/16

でした。

計算方法を教えて頂きたいです><

補足日時：2011/12/25 20:13

No.5 回答者： asuncion 回答日時： 2011/12/25 18:40

#2さんの考え方では、

○○○○××
のように、５試合目までに決着が付いているケースも計上しているところに問題があるのだと思います。

正解を導くには、５試合目までに（どういう順序でもいいから）
Aが３勝していて、かつ、６試合目にAが勝つ、
というケースを考える必要があると思います。

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/25 17:30

AとBの2つのチームが試合を行い、

先に4勝したチームを優勝とする。
AがBに勝つ確立は1/2で、引き分けは無いものとする。
このとき、ちょうど6試合目でAが優勝する確率は？
また、優勝が決定するまでに行われる試合数の期待値は
何試合？

>ちょうど6試合目でAが優勝する確率は？

Ａが６試合中４勝すればいいから　6Ｃ4（1/2)^4(1/2)^2＝１５×（１／２^6）＝１５／６４

>優勝が決定するまでに行われる試合数の期待値は何試合？

４試合できまる確率　4Ｃ4(1/2)^4＝１／１６
５試合で決まる確率　５試合中どちらかが４勝すればいいから
　　　　　　　　　　5Ｃ4(1/2)^4(1/2)＝５×（１／２^5）＝５／３２
６試合で決まる確率　１５／６４
７試合で決まる確率　7Ｃ4(1/2)^4(1/2)^3＝３５×（１／２^7）＝３５／１２８

試合数の期待値は
４×（１／１６）＋５×（５／３２）＋６×（１５／６４）×７×（３５／１２８）
＝５５７／１２８

この回答への補足

ありがとうございました(^^)

計算だけでなく、どういう計算なのかも
書いてくださり、分かりやすかったです*

補足日時：2011/12/25 18:07

No.1 回答者： OurSQL 回答日時： 2011/12/25 17:29

AがBに勝つ確立、ってどういう意味だ？