五角形と正十角形について

近々、義務教育終了程度の数学の試験があります。

自信がないので、まずは小学校五年生で習う算数の基礎固めテキストを使って、基礎から復習しようと始めたのですが…。

算数に悪戦苦闘しています。

得意な方教えて下さい。


(問題(1))五角形の５つの角の大きさの和は何度ですか？
(答え)５４０゜

→この問題は五角形内に三角形が３つできるので１８０゜×３＝５４０゜となる事は分かったのですが、

どうやって３つできると考えたらよいのでしょうか？

私はこの問題を見た時によく分からなかったので、
とりあえず五角形を書きました。
それで三角形が３つだと分かりました。


(問題(2))正十角形の１つの角の大きさは何度ですか？
(答え)１４４゜

→調べてみると、十角形の内角の和が１４４０゜なので、
１４４０゜÷１０をすれば１４４゜がでますが、

十角形の内角の和など知らなかったので分かりませんでした。
これは暗記していないと解けない問題なのでしょうか？？
(問題(1))のように、十角形を簡単に書くこともできないですし。


小学五年生用の問題なので、他に違う考え方があるのかも？!と思い恥ずかしながら質問させていただきます。

よろしくお願いします。

No.9 ベストアンサー 回答者： WiredLogic 回答日時： 2012/01/20 10:31

義務教育終了程度、ということであれば、中学の数学で、文字を使うことも必要かと思うので、文字も使って、まとめてみます。

文字式に自信がなければ、実際の数をあてはめて考えてください。それで、文字式の基礎が逆に解るかもしれません。

n角形の内角の和の求め方。

(1) 教科書に普通書いてあるのは、１つの頂点から、対角線を引いて、三角形に分けるやり方。
(1-1) １つの頂点から、対角線は、(n-3)本引ける。理由は、
　頂点はn個ありますが、自分自身とは繋げない、隣とつないでも、対角線でなく、辺になる、
　それで、３つアウトだから、対角線としてひけるのは残りの(n-3)本、
(1-2) (n-3)本の対角線で、n角形は、(n-2)個の三角形に分かれる、理由は、
　対角線は、一番上にある頂点から引かれていることにします。
　どの対角線をとっても、その右に三角形がひとつある(同じものを２回数える心配なしに)
　で、そういう三角形が、(n-3)個ある。ただ、それだと、
　一番左の対角線の左側の三角形を数えてないから、
　全部では、あと１個増えて、(n-2)個、
(1-3) この(n-2)個の三角形の内角の和の合計は、n角形の内角の和と同じ、
　ここは、図を描いて確認して三角形の角に印を付けたりして、確認してくださいね。
　それで、n角形の内角の和は、180度×(n-2)。

(2) n角形の内側の点、できるだけ真ん中に近いところが、書きやすく見やすいと思いますが、そういう点を１つとって、その点から全部の頂点に直線をひいて、三角形に分ける方法、
(2-1) 当然、これで、n個の三角形に分けられる、三角形の内角の和の合計は、180度×n、
(2-2) その中で、真ん中の点の回りの角は、n角形の内角とは関係がない
　これも、図を描いて、三角形の内角の一つ一つに印をつけて、確認します。
(2-3) 関係ない分の角度は、１回り360度分なので、180度×n - 360度、これは、180度×(n-2)と同じものです。

(3) 内角と外角を使う方法、多分、一番、解りにくいと思いますが、外角も、中学段階で必要になりますし、解ってしまえば、実際に計算するときは、非常に便利ですので、できるだけ理解しようとがんばってください(無理そうなら、後回しでも構いません)
(3-1) 外角というのは、180度-内角のこと、イメージしやすいのは、
　n角形が大きく地面に書いてあって、それに沿って歩くことを想像してください。
　紙と鉛筆で図を描きながらだと、解りやすく、本当に家の中でも外でも、
　ある程度大きめの図を描いて、歩いてみると、もっと解りやすいと思います。
　ある辺上を歩いていて、頂点のところまでくると、そのまままっすぐ歩くと、
　周から外れてしまいます。なので、次の辺の向いている方に、方向転換を
　しないといけません。頭を向けるイメージ、お尻を振るイメージ、どちらでも
　構いませんが、方向転換した角度、これが、外角になります。内角と合わせて
　みると、足して180度になるのは、すぐわかるはずです。
(3-2) 内角と外角の和の合計は、180度の頂点数分なので、180度×n
(3-3) その中に、外角、というか、方向転換した分が含まれているので、
　それをひいてやらないといけません。ある頂点から、どっちでもいいから、
　隣の頂点に向けて歩いて行って、そこで方向転換をして、を、繰り返して、
　元の頂点に帰ってくる(ここで、最後の方向転換を忘れないように)、こう
　すると、向いている方向は、最初に向いていた向きになるので、辺を歩いた
　分を忘れてしまえば、ちょうどその場で一回転したのと同じ、つまり、
　外角の和＝方向転換した角度の和＝360度になります。
　すると内角の和＝(１つの内角と外角の和)の合計－外角の和＝180度×n-360度になります。

どれでもいいので(できれば、全部試すことをお勧めします)、それぞれ、４角形・５角形・６角形、できれば、７角形は書きにくいのでパスしたとしても、８角形くらいまで、やってみると、どこかで、必ず、先はどうなっているかが見えてきて、そうなると、上でnで書いていることの意味も見えてくると思います。

そうなってしまえば、十角形は書けないので、という話にはならず、百角形だろうが、千角形だろうが、ド～ンと来い^^、という気持ちになれます。

ここで、正n角形の１つの内角の大きさは？と聞かれたら、

(1) n角形の内角の和を求め、正～なら、内角は皆同じだから、１つ分は和をnで割る、

(2) 外角=180度-内角だから、１つの外角も、全部同じ、
　外角の和は、360度だから、１つの外角は、360度÷n、
　すると、それを、180度からひくと、１つの内角、
　とやると、内角の和の計算も要らず、カッコいい、

これが、内角の和の(3)の考え方も、できたら、理解してほしい、と言った理由です。中学の角度の計算問題でも、外角が使えると、一気に簡単になる問題は、決して、少なくありません。なくても、解けることは解けるので、無理はしなくてもいいですが、できるだけ解るように頑張ってみてください。

この回答へのお礼

詳しく丁寧丁寧に教えていただき、本当にありがとうございます。

内角、外角についても理解できました。
正○角形についての問題も解けます。

本当にありがとうございました★

お礼日時：2012/01/20 22:50

No.8 回答者： noname#157574 回答日時： 2012/01/20 07:18

＞五角形の５つの角の大きさの和は何度ですか？

幼稚な文章だな。私なら次のように書く。
五角形の内角の和は何度か。
小学5年で内角・外角といった数学用語を導入すべきだと思う。

No.7 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2012/01/20 05:18

私は次のように覚えました

N角形の中心A（内側ならどこでもいい）に各角へ線を引くと
辺の数だけ三角形ができます
三角形の内角の和は180度で、N個あれば全部で180*N度

Aの周りに鋭角の三角形の角がぐるっと取り囲み、それらが全部で360度

なのでN角形の内角の和は180*N-360=180(N-2)度です

覚え方なので、どれでもいいですが、もし合うようでしたらお使いください

この回答へのお礼

ｎ角形の内角の和
＝１８０×(ｎ－２)♪
どうしてこうなるのか分からなかったのですが、理解できました!！

ありがとうございました！

お礼日時：2012/01/20 22:59

No.6 回答者： edomin7777 回答日時： 2012/01/20 05:14

その図形の中心から各頂点に線を引いたら

正5角形は2等辺三角形が5個
正10角形は2等辺三角形が10個
出来ますよね？

中心に集まっている頂点の角は360°をその個数で割ったものに等しくなります。
5角形なら72°、10角形なら36°。

3角形の内角の和は180°なので、2等辺三角形の残りの角の和は
180°-72°=108°…五角形
180°-36°=144°…10角形

一つ分の角を求めて2倍しても良いですが、元々2つ分なのでそのまま答えになります。

※5角形は和なので、「×5」します。

この回答へのお礼

分かりやすく教えていただき、とても助かりました!
ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/20 23:05

No.5 回答者： ogawa_sora 回答日時： 2012/01/20 03:05

今晩は。

最初に、多角形の頂点の数を考えましょう。
四角形　４
五角形　５
　↓
十角形　10
ｎ角形　ｎ

一つの頂点から引ける対角線の数
四角形　１
五角形　２
　↓
十角形　７
だから。
ｎ角形　ｎ－３　になります。

対角線を引いてできる三角形の数
四角形　２
五角形　３
　↓
十角形　８
だから。
ｎ角形　ｎ－２　になります。

すると、内角の和は。
四角形の場合は、１つの頂点から対角線を引くと二つの三角形ができたので内角の和は １８０°×２＝３６０°
五角形の場合も同じように考えると、３つの三角形ができるので、内角の和は １８０°×３＝５４０°
十角形の場合は、８つの三角形ができるので、内角の和は　１８０°×８＝ １４４０°
だから。
ｎ角形の内角の和は、１８０°×（ｎ－２）


一つの角の角度は、内角の和÷頂点の数　になります。
但し、これは正多角形のの場合です。

この回答へのお礼

分かりやすく教えていただきありがとうございます。一つ一つ考えていくと理解できますね！！

ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/20 23:13

No.4 回答者： nananotanu 回答日時： 2012/01/20 02:45

>平面図形の外角の和は全て360゜で一定です。

これは覚える。

覚えなくても、自分でその多角形の周りを歩いたと思ってください。角[かど]のたびにその角[かく](または頂点のところ、と言える)の外角の大きさだけ曲がります。全体を回り終えると、その個々の曲がる大きさ＝外角　の和の大きさだけ積み重ねで曲がってきて、一周して元に戻るのですから、360度です。

この回答へのお礼

外角の和＝３６０゜♪
覚えました!！

ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/20 23:16

No.3 回答者： nananotanu 回答日時： 2012/01/20 02:41

>どうやって３つできると考えたらよいのでしょうか？

ひとつの頂点から他の全ての頂点に向って線を引きます。
出発点となった頂点の両隣の頂点への線は即ち辺となり、他は多角形を横切る対角線となりますね。
対角線で区切られたそれぞれの形は、１出発点となった頂点・２その対角線の終点となった頂点・３その終点の左となりの(これは右となりでも良いのですが、全体を通じてどっちかに統一すべきで、ここでは左と考えましょう)頂点、の3つの点を結ぶ形ですから、三角形となります。対角線を引くたびに三角形ができていき、最後の対角線では右側にも三角形が出来ます(右側の辺との間に出来るから)。

一般化すると、N角形にはN-３本の対角線があるひとつの頂点から引け(－３は出発点の頂点と両隣の頂点を引くから：それらを結ぶのは対角線にならず、辺)、N-3本の対角線を次々に引いていくたびに三角形が出来て、最後の1本だけ2つ三角形が出来るので、N-2個の三角形に分かれます。

自分で線を引きながらこの説明を読むと納得できると思います。

この回答へのお礼

線を引きながら読んでみました。
実際に頭で考えるより、よく理解できますね！

ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/20 23:20

No.2 回答者： Javelic 回答日時： 2012/01/20 01:53

(1)

ｎ角形の角の和は…ってゆう問題は
180×(ｎ－２)
この式でできるはずです。
五角形の場合は
180×(5－2)＝180×３になりますね


(2)
平面図形の外角の和は全て360゜で一定です。これは覚える。
正ｎ角形の外角は
360÷ｎ です
外角が分かれば内角はわかりますね。
正十角形の場合は
360÷10＝36
180－36＝144になりますね


説明下手ですいません

この回答へのお礼

理解できました!！
ありがとうございました!！

お礼日時：2012/01/20 23:24

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/01/20 01:44

「外角の和は 360度」というのは使っていいんだっけ?

この回答への補足

外角の和が３６０゜
→小学生の時に習ったのかもしれませんが、私の記憶にはありませんでした…。
使わない方法でも解けますか？？

補足日時：2012/01/20 02:03