証明の仕方について質問があります。
h>0のとき、すべての自然数nに対して、不等式
(1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2
が成り立つことを証明せよ
左辺を展開していくと
1+nh+n(n-1)h^2/2+n( n-1)(n-2)h^3/6+.....+h^n
h>0より第4項から末項をΑとおくと
Α≧0
両辺に1+nh+n(n-1)h^2/2を加えると
1+nh+n(n-1)h^2/2+A≧1+nh+n(n-1)h^2/2
左辺は(1+h)^2の展開なので
元に戻すと
(1+h)^2≧1+nh+n(n-1)h^2/2
となるので成り立つ
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
それで正しいと思えます。
少なくとも、読んでみて間違いは見つけられません。もし、手を加えるとしたら下記1行でしょうか。
>1+nh+n(n-1)h^2/2+n( n-1)(n-2)h^3/6+.....+h^n
ここでお使いの2項定理、
(a + b)^n =nC0a^n + nC1a^(n-1)b + nC2a^(n-2)b^2 +…+nCra^(n-r)b^r +…+nCnb^n
= ∑[r=0→n]nCra^(n-r)b^r
(↑∑[r=0→n]は∑の上にn、下にr=0です)
を明示し、a = 1, b = hと置くとすれば(もしくは上記を、「2項定理より」として、そのように書く)、ベターではないかと思います。
No.6
- 回答日時:
>h>0より第4項から末項をΑとおくと
二項定理を知らない人には理解できないので、
二項定理の式から説明(証明)しなければならないと思います。
すべての自然数nに対して、なので、
数学的帰納法で証明するのがいいと思います。
B=1+nh+n(n-1)h^2/2 とおくと(書き込みが長くなるのでこのようにおきます)、
n=k+1のとき
(1+h)^(k+1)≧(Bのn=k+1の式)+k(k-1)h^3/2
となりますが、
k(k-1)h^3/2≧0(k≧1)なので
(Bのn=k+1の式)+k(k-1)h^3/2≧(Bのn=k+1の式)より、
(1+h)^(k+1)≧(Bのn=k+1の式)
が成り立ち、証明できます。
計算の手間が少しかかりますが。。。
No.5
- 回答日時:
微妙. 例えば, なぜ「h>0より第4項から末項をΑとおくとΑ≧0」なのかって聞かれると答えるのも難しいんだよね.
そもそも「第4項から末項」が必ずしも存在するわけではない....
No.3
- 回答日時:
間違ってはいませんが、少し回りくどいかも。
h>0 のとき、(1+h)^n-{1+nh+n(n-1)h^2/2} = … = 質問者さんがAとおいた式 ≧0
よって、(1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2
くらいで、大丈夫です。
A≧B(A>B) を証明するのに、A-B≧0 (A-B>0) から持っていくのは、
定石の一つです。(2つの式の大きさを比べるより、1つの式が正,0,負の
どれになるかを調べるのは、普通は簡単だから)
No.2
- 回答日時:
微妙。
この問題で、二項展開を既知としてよいか
については、意見が分かれる…というか、
大多数の人は、それはマズイだろうと感ずるけれど、
一部にきっといる「それでいい」派の人を
納得させるのは、かなり難儀…といった所です。
二項展開を使うのであれば、その証明も添える
のが、題意に沿う解答でないかと思います。
No.1
- 回答日時:
>左辺を展開していくと
>1+nh+n(n-1)h^2/2+n( n-1)(n-2)h^3/6+.....+h^n
二項定理(二項展開)の式を無条件で用いてよいのであれば、
これでもよいかと。
通常は、この二項定理の式も証明しないといけません。。
ということで、素直に証明するなら数学的帰納法かと。
あと、等号を含む不等式の証明の場合は、
等号がいつ成立するかも合わせて示すことも多いです。
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