数(黄)チャートI

解説を読んでもわかりませんのでわかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします


重要例題126(3)

問題

1辺の長さが1の正五角形ABCDEにおいて ACとBEの交点をFとするとき
正五角形ABCDEの5本の対角線が内部に作る正五角形ともとの正五角形との面積比を求めよ。


答えは(7－3√5):2


解説のACとBDの交点をGとするとAF＝CGということからよくわかりません



解説よろしくお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/29 06:46

1辺の長さが1の正五角形ABCDEにおいて ACとBEの交点をFとするとき

正五角形ABCDEの5本の対角線が内部に作る正五角形ともとの正五角形との面積比を求めよ。

答えは(7－3√5):2

>解説のACとBDの交点をGとするとAF＝CGということからよくわかりません
対角線ＢＤとＣＥの交点はＨ，ＡＤとＣＥの交点はＩ，ＢＥとＡＤの交点はＪとする。
この図の中で合同な二等辺三角形は４種類あります。

正五角形の１つの内角は108度です。角Ａ～角Ｅまで５つです。
それらを頂角とする合同な二等辺三角形は５つあります。
例えば１つは△ＡＢＥです。等辺＝１，
底角は、角ＡＢＥ＝角ＡＥＢ＝（180－108）／２＝３６度
他に△ＢＣＡ，△ＣＤＢ，△ＤＥＣ，△ＥＡＤが合同です。
（合同な三角形の等しい辺，角にはしるしを付けていけばいいです。）

２種類目も頂角が108度の二等辺三角形で、５つあります。
例えば、△ＦＡＢは、底角は３６度、底辺が１です。等辺は長さが分からないので
ＡＦ＝ＢＦ＝ｘとします。
これと合同な三角形の一つは△ＧＢＣです。だから、ＡＦ＝ＣＧになります。
他に△ＨＣＤ，△ＩＤＥ，△ＪＥＡが合同です。

３種類目の合同な二等辺三角形も５つあります。
例えば、△ＡＦＪは、頂角３６度、底角７２度、等辺＝ｘです。
底辺は、真ん中の五角形の１辺です。
他に、△ＢＧＦ，△ＣＨＧ，△ＤＩＨ，△ＥＪＩが合同です。

４種類目の合同な二等辺三角形は１０個あります。
例えば、△ＢＪＡは、頂角３６度、底角７２度、等辺＝１、底辺＝ｘです。
（合同な図形は自分で探してみて下さい。）

真ん中の五角形の１つの辺をｙとします。３種類目の合同な三角形の底辺なので、
５つの辺はすべて等しいです。
すべての内角は、２種類目の二等辺三角形の頂角の対頂角であるから、
等しくなります、だから108度です。
これから、辺の比がすべて等しく角の大きさが等しいから、
真ん中の五角形は正五角形で、もとの正五角形と相似になります。

△ＢＪＡと△ＡＦＪは相似になります。
２つの底角がどちらも７２度で等しいからです。
ＢＪ＝１，ＢＦ＝ＡＦ＝ＪＡ＝ｘ，ＦＪ＝ｙ
よって、ＢＪ：ＡＦ＝ＪＡ：ＦＪ　より、
１：ｘ＝ｘ：ｙ　から、ｙ＝ｘ^2　……（１）
また、ＢＪ＝ＢＦ＋ＦＪより、
ｘ＋ｙ＝１　……（２）
（１）（２）より、ｘ^2＋ｘ－１＝０
これを解いてｘ＞０より、ｘ＝(1/2)（－１＋√５）
ｙ＝(1/2)（３－√５）　……（３）

真ん中の正五角形ともとの正五角形は相似だから
面積比は、相似比（辺の比）の２乗に等しくなる、
だから（３）より、
面積比＝ｙ^2：１^2
　　　＝｛(1/2)（３－√５）｝^2：１^2
　　　＝(1/2)（７－３√５）：１
　　　＝（７－３√５）：２

図がないので説明が長くなってしまいましたが、すぐに分かることばかりなので、
図を描いて考えてみて下さい。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました

お礼日時：2012/01/29 11:36

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/01/29 03:00

＞解説のACとBDの交点をGとするとAF＝CGということからよくわかりません

線対称といってしまうか、丁寧に三角形の合同を示すか、どちらかですね。

2種類の二等辺三角形があちこちに現れてきます。
「2種類」というのは頂角が 36度か 108度かという意味です。
まずは、それらを拾い上げてみては？

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2012/01/29 11:08