A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
ANo.4です。
以下を少し訂正します。>2つの有理数a,bに対して
>a+b√2=0ならばa=b=0であることを示せ。
bは0でないとすると、
b√2=-aより、√2=-a/bで、
√2が有理数であることになり、矛盾する。
よって、b=0であるから、a+b√2=0より、a=0
でお願いします。
No.5
- 回答日時:
a = b = 0 が真であることを証明するのに、a = b = 0 の否定を持ち出している。
となると、a = b = 0 の否定が偽であることを証明するのが、当然の流れだ。
すなわち、a ≠ 0 が偽であることと、b ≠ 0 が偽であることを、両方示す必要がある。
b ≠ 0 が偽であることは、背理法で示せている。
しかし、同様に a ≠ 0 が偽であることを示す試みが見られない。
b ≠ 0 が偽であることより、当然 b = 0 となり、その副産物として a = 0 であることがたまたま得られただけのこと。
a ≠ 0 が偽であることを積極的に示さないのであれば、わざわざ a = b = 0 の否定を持ち出す意味があるのか。
No.4
- 回答日時:
>√2が無理数であることを示せ。
√2が有理数であるとすると、
√2=m/n(m.nは整数で互いに素)
両辺2乗して、2=m^2/n^2
m^2=2n^2 ……(1)より、 m^2は偶数だから、mも偶数
m=2k(kは整数)とおくと、(1)へ代入して
4k^2=2n^2より、n^2=2k^2で、
n^2は偶数だから、nも偶数
m,nが偶数だから、m.nが互いに素であることに矛盾する。
よって、√2は無理数
>2つの有理数a,bに対して
>a+b√2=0ならばa=b=0であることを示せ。
a=b=0の否定:aは0でない または bは0でない から、
bは0でないとすると、
b√2=-aより、√2=-a/bで、
√2が有理数であることになり、矛盾する。
よって、a=b=0
>有理数p,qが
>(3-√2)^2-(p^2+q)(3-√2)+p^2q-1=0を満たすとき、p,qの値を求めよ。
式を整理すると、
(p,qについての式)√2+(p,qについての式)=0になるから、
2題目に示したことを使って、p、qの連立方程式を解けばいいと思います。
1題目は、何かの本で読んだことのある証明です。(だいたいこんな流れだったと思います。)
証明の方法は1通りではないので、いろいろ調べてみればいいと思います。
No.3
- 回答日時:
> 2つの有理数a,bに対して
> a+b√2=0ならばa=b=0であることを示せ。
b = 0 のとき、a = 0 なのは明らか。
b ≠ 0 とすると、√2 が無理数であることと矛盾する。
以下は参考程度に。
「√2 が無理数であることを示せ」の類題: i が無理数であることを示せ。
模範解答: 有理整数でない代数的整数だから
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