構造関数の被積分関数の球対称性

　N個の１次元調和振動子のハミルトニアンHは

H＝Σ〔i=1～N〕｛p〔i〕^2／2m＋m(ω^2)(q〔i〕^2)／2｝

の時、被積分関数の球対称性から次式を示そうと思っています。

　Ω（E）＝｛（2π／ω）^N｝｛E^(N-1)／Γ（N）｝

ですが、等式

(d^2N)z＝｛2π^(N)／Γ(N)｝r^(2N-1)dr

を何処かで用いるとしか分かりません。
　誠に恐縮で御座いますが、どなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。

No.1 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/01/11 00:46

前問の回答より

　z〔i〕＝p〔i〕／(2mE)^(1/2)、
　z〔i+N〕＝q〔i〕／(2E/mω^2)^(1/2)

とすると

Ω（E) =｛(2mE)^(N／2)／E｝(2E/mω^2)^(N／2)
　　×∫(d^2N)zδ{１－Σ[i=1～2N]z〔i〕^2｝
　= (2E/ω)^N ／E
　　×∫(d^2N)zδ{１－Σ[i=1～2N]z〔i〕^2｝
2N次元球座標を用いて(d^2N)z＝｛2π^(N)／Γ(N)｝r^(2N-1)dr とすると
　∫(d^2N)zδ{１－Σ[i=1～2N]z〔i〕^2｝
　= {2π^(N)／Γ(N)｝∫r^(2N-1)δ(1 - r^2)dr
ここで
　δ(f(x)) = Σδ(xi)/|f'(xi)|　(xiはf(x)の零点)
という公式を使うと∫r^(2N-1)δ(1 - r^2)dr = (1/2)
となるから
　Ω(E) =｛(2π/ω)^N｝｛(2E)^(N-1)／Γ(N)｝
ではないでしょうか。

この回答へのお礼

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。

お礼日時：2004/01/15 23:11

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/01/11 14:02

下の回答で

　δ(f(x)) = Σδ(xi)/|f'(xi)|　(xiはf(x)の零点)
は
　δ(f(x)) = Σδ(x-xi)/|f'(xi)|　(xiはf(x)の零点)
に訂正させて頂きます。

この回答へのお礼

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。

お礼日時：2004/01/15 23:11