No.5ベストアンサー
- 回答日時:
二項定理 (1+x)^n = (nC0) + (nC1)x + (nC2)x^2 + … + (nCn)x^n
を n について漸化しましょう。(1+x)^n = (1+x)・(1+x)^(n-1) より、
(nC0) + (nC1)x + … + (nCn)x^n = (1+x){ ((n-1)C0) + ((n-1)C1)x + … + ((n-1)C(n-1))x^(n-1) }.
両辺の x^k 項を比較すれば、(nCk)x^k = 1・((n-1)Ck)x^k + x・((n-1)C(k-1))x^(k-1).
すなわち nCk = (n-1)Ck + (n-1)C(k-1).
趣味的な話ですが、私は、nCk = n!/{k!(n-k)!} を定義とするよりも、
二項定理のほうを nCk の定義として、逆に n!/{k!(n-k)!} は導出する
立場のほうが好きだなあ。「二項係数」って、そういう名前でしょ。
No.4
- 回答日時:
>通分して足しても何もなりませんでした……
分母を共通にして通分し、分子の共通項を括り出すだけでしょう。
(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck
=(n-1)!/((k-1)!(n-k)!) + (n-1)!/(k!(n-k-1)!)
=(n-1)!k/(k!(n-k)!) + (n-1)!(n-k)/(k!(n-k)!)
=(n-1)!(k+(n-k))/(k!(n-k)!)
=(n-1)!n/(k!(n-k)!)
=n!/(k!(n-k)!)
=nCk
(証明終り)
No.2
- 回答日時:
もっとスマートな方法もあるとは思いますが、ゴリゴリとやっても結構出来ます。
nCk=n(n-1)…(n-k+1)/k(k-1)…1
(1)(n-1)C(k-1)=(n-1)(n-2)…{(n-1)-(k-1)+1}/(k-1)(k-2)…1
(n-1)C(k-1)=(n-1)(n-2)…(n-k+1)/(k-1)(k-2)…1
(2)(n-1)Ck=(n-1)(n-2)…{(n-1)-k+1}/k(k-1)…1
(n-1)Ck=(n-1)(n-2)…(n-k)/k(k-1)…1
(1)+(2) の分母を通分する。
{(1)の分子 × k + (2)の分子 }/k(k-1)…1
これで分母は揃ったので、面倒くさいので、分母は放っておいて、分子だけみる。
(1)の分子×k と (2)の分子 の共通因子は、(n-1)…(n-k+1)なので、
{k-(n+k)}{(n-1)…(n-k+1)} = n(n-1)…(n-k+1)
これで分母・分子とも一致します。
ご参考に。
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