反発係数の考え方

反発係数の公式がありますが、

v1-v2/v1'-v2'=-e

はベクトル（速度）で計算してもよいのでしょうか。

計算の途中で

m(v1x,v1y)+m(v2x,v2y)=m(v1'x,v1'y)+m(v2'x,v2'y)
と
(v1x,v1y)-(v2x,v2y)=-( (v1'x,v1'y)-(v2'x,v2'y) )
*e=1

の連立で解いたのですが、答えは合っているようです。

No.6 ベストアンサー 回答者： foomufoomu 回答日時： 2012/06/17 10:15

実務で反射係数を使ったことがない(使ってもしょうがない)ので、間違えました。

反射係数も、他の運動と同じように運動方程式から導かれ、不完全弾性体への衝突時にエネルギーが失われることから発生するので、単純にベクトル計算可能でXY方向とも効くと考えましたが、他のかたの回答を見て、そんなに単純でないことに気がつきました。

不完全弾性体への反射は、下図のように、反射時にエネルギーの一部がバネに吸収され、100%戻らないことから、反射後の速度が遅くなるという現象が発生します。下図では「力」と書きましたが、正しくはエネルギーです。
したがって、X,Y方向の反射を考える場合は、反射面にかかる力と変形をX,Y成分に分け、それぞれの方向のエネルギー損失を考えないといけないようです。
うまく成分分けができれば、(v1-v2)/(v1'-v2')=-e の式で計算できそうな気がしますが、深く考えてないので、また間違えているかもしれません。

ただ、前にも書きましたように、反射係数は、実際の現場では使い物にならないものなので、あまり深く考えてもしょうがない気がします。不完全弾性体では、変形が大きくなるほどエネルギー損失が急激に大きくなる傾向があるので、一般に変形が大きいほど反射係数は小さくなります。

No.5 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/06/16 11:12

一つわすれてたというか間違ってました。

これが1の方が質点、2の方が壁で、xが壁に垂直方向、yが壁に沿った方向だとすると、
x成分については

- v1x' / v1x = e

で

v1x' = -e v1x

と符号が反転します。しかしy成分は符号を含めて変化しないのに反発係数の式を使ってしまうと

- v1y' / v1y = e

で

v1y' = -e v1xy

となり、こっちも反転してしまいます。つまり間違いです。

なのでe=1でもベクトルで考えたら成立しません。

計算が合ったというのはx成分とy成分が同時に反転する、つまり、実際は直線上の１次元衝突を座標を回転して計算したためではないでしょうか。

No.4 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/06/16 10:58

壁や床に斜めに衝突する問題というのはよくあると思いますが、その場合、速度の壁や床に垂直な成分には反発係数がかかりますが、壁に沿った成分にはかかりません。

だからベクトルとしてe倍したら間違いになります。

ただし、あなたが解いた場合のe=1ではどちらの成分にも大きさの変化がありませんから成り立ってしまいます。

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2012/06/16 04:38

「反発係数」なのですから「反発の程度」を表しています。

「跳ね返り係数」とも言います。

止まっている壁に飛んできた物体がぶつかる場合が基本です。
一番よく跳ね返るのが反発が一番いい時です。
一番反発が悪い時というのは全然跳ね返らない時です。

跳ね返った時の速さがどれくらいかというのは壁よりは床でやった方が分かりやすいです。
跳ね返った後、同じ高さまでは上がれば同じ速さで跳ね返ったということが分かります。
全然跳ね返らない場合、衝突後の速さは０です。
跳ね返りの程度は衝突後の速さで表されるということになります。
衝突の前後の速さをｖ、ｖ'とすればｖ'＝ｅｖ　（０≦ｅ≦１）です。
このｅが反発係数です。（野球の公式球の検査はこの方法で行われています。「～ｍの高さからコンクリートの床に落とした時、跳ね返る高さが～ｍから～ｍの範囲にあるボール」というような規定です。）

壁（床）への衝突では、跳ね返れば必ず運動の方向が逆向きになっています。（「跳ね返る」という言葉の中の「返る」にそれが示されています。）

床とか壁というのは衝突によって動かない物体という前提でのものです。質量が十分に大きい物体に対応します。質量がそれほども大きくない場合はＡ，Ｂ２つの物体の衝突という場面に変わります。止まっているＢに、速さｖで動いてきたＡがぶつかるという場面です。Ｂは跳ね飛ばされます。Ａの運動の向きは初めの方向と同じという場合も、反対向きという場合もあります。質量の関係によって変わります。
上で考えた止まっている壁の場合とどう対応づければいいでしょうか。
反発が０というのは物体が壁にくっついてしまう場合でした。これはＡ，Ｂが同じ速さで運動するようになると考えるといいだろうというのが分かります。これは相対速度が０ということです。ｅ＞０の場合も相対速度に読み直すと行けそうです。衝突が起こる場合、衝突前は近づいてくる運動になっています。衝突後は離れて行く運動になります。初めのＡの運動方向を基準にとるとＡ，Ｂの速度をその基準に沿って考える必要があります。
ｖ'1－ｖ'2＝－ｅ（ｖ1－ｖ2）　（１，２はＡ，Ｂのことです。）　
こういう風にすると反発係数ｅの意味は壁の場合と同じになります。

反発係数は衝突の前後での相対速度の比を表しています。
－の記号は向きが考慮されているからです。
速い、遅いの関係が逆転することを表していると言ってもいいでしょう。
向きが考慮されているという意味ではベクトルですが平面での２次元衝突に対してもベクトル表現が成り立つということではありません。
０＜ｅ＜１の場合をエネルギーで考えるというようなややこしいことをやることはありません。
反発係数の式を使えば衝突後の速度を求めることが簡単にできます。ただし一次元の運動に限られています。

あなたの書かれている式は２次元の式です。
衝突の前後での相対速度がベクトルとして定数倍の違いになっているということは一般的には成り立ちません。
この場合も基本になるのは壁（または床）への衝突です。今度は斜め衝突を考えることになります。
床にボールを落とした時を考えます。真下に落とせば何回かバウンドを続けて止まってしまいます。高さは急激に減少します。少し斜めに放ったとします。バウンドの高さの減少に比べて落下地点の間隔の減少が小さいということが分かると思います。衝突によって速度が減少しますが鉛直方向成分の減少の割合が方が水平方向成分での減少の割合よりも大きいということです。
あなたの式はどちらの方向の成分も同等に減少していることを表しています。

一般的にはどちらの成分も変化するでしょうが変化の原因は異なっているようです。
よくやる近似は壁（床）に垂直な成分だけについて反発係数の式を当てはめるということです。平行な成分は変化しないとします。

＞答えは合っているようです。
どういう問題を解かれたのでしょうか。
向きを考慮した一次元の運動だったのではないでしょうか。
２次元の衝突でｘ方向、ｙ方向の両方が変わるという問題で０＜ｅ＜１という問題が出てくることはないはずです。

No.2 回答者： foomufoomu 回答日時： 2012/06/16 01:52

>反発係数の公式がありますが、

>v1-v2/v1'-v2'=-e
この式は
(v1-v2)/(v1'-v2')=-e
とかくのが、正しいですね。2物体の質量が同じである必要はありません。
こちらの後半に詳しい計算が載っています。
http://fnorio.com/0062impulse_&_momentum1/impuls …

＞はベクトル（速度）で計算してもよいのでしょうか。
ｅ自体はスカラー量ですが、ｖはベクトルで計算しなければなりません。

なお、現実の問題で反発係数を使うことは、あまりありません。反発係数は衝突する速度などの条件で変わるもので、物質に固有の定数というわけではないので、近似的な計算にしか使えません。

No.1 回答者： superkamecha 回答日時： 2012/06/16 00:38

注意すべき点が２つあるようですね。

まず、「公式」として記載されている反発係数に関する式は、どんな場合にでも適用可能な式ではありません。これは、衝突する２つの物体の質量が等しい場合に限られた式です。

もうひとつ、反発係数というものは、本来、エネルギ次元で定義されているものです。ここに示されている式は、その定義式と同時に運動量保存則との連立方程式とを解いた結果の式なので、基本的に１次元が前提となっているものです。
ゆえ、速度（の１乗）の式なので、成分分解ができそうな顔をしていますが、本来、分解して使えるものではありません。

運動量はベクトル量なので、分解は可能であると同時に、ｘ、ｙ　それぞれの方向にて、独立に成立するものです。つまり
(1)ｍ１ｖ１＋ｍ２ｖ２＝ｍ１ｖ１’＋ｍ２ｖ２’　は、ｘ方向、ｙ方向それぞれ満足しなければなりません。

ですが、反発係数のほうは、
(2)ｅ｜ｍ１ｖ１＾２－ｍ２ｖ２＾２｜＝｜ｍ１ｖ１’＾２－ｍ２ｖ２’＾２｜
この式は、もともとスカラー量の式なので、”方向を分けて考える”ということは、あり得ないのです。

質問に記載されている式は、ｍ１＝ｍ２を前提とし、「1次元」として、(2)式の絶対値を外し、(2)式を(1)式で割り算したものなのです。この前提でのみ成り立つ「公式」なのです。