No.4ベストアンサー
- 回答日時:
F^2=x^2+y^2
H=3-x
H/F=2=(3-x)/√(x^2+y^2)
3-x>0・・・(ア)
4(x^2+y^2)=(3-x)^2=9-6x+x^2
3x^2+6x+4y^2=9
x^2+2x+(4/3)y^2=3
(x+1)^2+(4/3)y^2=4
{(x+1)/2}^2+(y/√3)^2=1・・・(イ)
(イ)は長軸の長さが4、短軸の長さが2√3、両軸の交点が(-1,0)の
楕円であり、この楕円上の点は全て(ア)の条件を満たす。よって、
Pの軌跡は(イ)で表される楕円となる。
この回答へのお礼
お礼日時:2012/06/25 07:59
回答ありがとうございました。
条件も提示していただき、軌跡の問題の解答方法の重要な点が理解できるような解答で、非常に参考になりました。
No.3
- 回答日時:
No.2の訂正です。
(7)式でb^2とするべきところを、No.2の回答でbにしてしまいました。
また、ferienさんの回答は、x=3との距離を点(3,0)との距離としていますが、y座標はいくらでも取れるので、そこは誤りだと思います。
P(x,y)とすると
F=OP=√(x^2+y^2)....(1)
H=|x-3|.............(2)
H/F=2よりH=2*F......(3)
(1)式と(2)式を(3)式に代入して、両辺を二乗すると
(|x-3|)^2=4*(x^2+y^2).....(4)
(4)式を整理すると
3*x^2+6*x+4*y^2=9.......(5)
(5)式を数学的に意味ある形に変形します。
ここからは、テクニックです。
3*(x^2+2*x)+4*y^2=9
3*{(x+1)^2-1}+4*y^2=9
3*(x+1)^2+4*y^2=12
(x+1)^2/(1/3)+y^2/(1/4)=12
(x+1)^2/4+y^2/3=1.....(6)
楕円の一般的な式は
x^2/a^2+y^2/b^2=1.....(7)
(6)式と(7)式を比較すれば、点Pの軌跡が何であるかわかるでしょう。
最後は、質問者のほうで考えてください。
No.2
- 回答日時:
P(x,y)とすると
F=OP=√(x^2+y^2)....(1)
H=|x-3|.............(2)
H/F=2よりH=2*F......(3)
(1)式と(2)式を(3)式に代入して、両辺を二乗すると
(|x-3|)^2=4*(x^2+y^2).....(4)
(4)式を整理すると
3*x^2+6*x+4*y^2=9.......(5)
(5)式を数学的に意味ある形に変形します。
ここからは、テクニックです。
3*(x^2+2*x)+4*y^2=9
3*{(x+1)^2-1}+4*y^2=9
3*(x+1)^2+4*y^2=12
(x+1)^2/(1/3)+y^2/(1/4)=12
(x+1)^2/4+y^2/3=1.....(6)
楕円の一般的な式は
x^2/a^2+y^2/b=1.....(7)
(6)式と(7)式を比較すれば、点Pの軌跡が何であるかわかるでしょう。
最後は、質問者のほうで考えてください。
No.1
- 回答日時:
>「P(x,y)と原点の距離をF、x=3との距離をHとする。
H/F=2のとき、Pの軌跡を求めよ。」Pから原点までの距離F^2=x^2+y^2
Pからx=3(3,0)までの距離H^2=(x-3)^2+y^2
H/F=2より、(H/F)^2=2^2より、H^2=4F^2だから、
(x-3)^2+y^2=4(x^2+y^2)
x^2-6x+9+y^2=4x^2+4y^2
3x^2+6x-9+3y^2=0
x^2+2x-3+y^2=0
(x^2+2x+1)+y^2=1+3
よって、
(x+1)^2+y^2=4
Pの軌跡は、中心(-1.0)半径2の円
でいいのではないでしょうか?
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