与えられた２数が和と積のときそこから２数を求めるこ

与えられた２数が和と積のとき、２数を求めることができる。
このとき２次方程式を利用して求めることができるようなのですが

２次方程式とは何？と感じてしまいました。
どうしてここで２次方程式なのだろう…と感じてしまいました。

公式を単に覚えているだけではいけないのだなとかんじました。


公式　は利用の仕方　なのでしょうか…

数学というものがわからなってしまいました

よろしくお願いいたします

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/06/23 12:42

あなたがどの学年なのかというのが重要ですが・・・

求める値をaとbとして
a+bとabが与えられているという状況です．

中三で習う展開公式（因数分解の公式）に

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

というのがあります

見比べれば，すぐわかる．係数にa+b，abがでてきてる．

ちがうのは
微妙に係数の正負．
(x+a)(x+b)=0という方程式をとくと
答えは x=-a, -b

じゃあ，どうすればいいか

(x-a)(x-b)=0を解けば x=a, bとなる

一方，
(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab

ここまで考えれば，もうほとんどおわり

AとBが与えられていて
a+b=A，ab=Bとなるようなaとbを求めたいなら

x^2-Ax+B=x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)

となることを考えて

x^2-Ax+B=0

という二次方程式をとけば，その答えとして
aとbが現れるというわけ．
AとBが小さい数ならともかく，試行錯誤でaとbが出てこないような場合は
解の公式で機械的に出せるのが便利かもしれない．

=====================
この仕組みは数学では常套手段で，
ありとあらゆるところに頻繁に現れます．

この回答へのお礼

お返事おくれてすみません。
回答ありがとうございます。

理解できました。
簡潔に？求める方法として、こうして２次方程式の公式を利用しているということなのかなと感じました。

ありがとうございます。

お礼日時：2012/07/28 09:49

No.2 回答者： Kirby64 回答日時： 2012/06/23 12:48

　２次方程式とは未知数に２乗が使われている方程式のことニャ。

　例えば２つの数が、－５と６の場合を考えると、
x+y=1…(1)
xy=-30…(2)

(1)を変形して、(2)に代入すると…
y=-x+1
x(x+1)=-30
x2+x+30=0
と言う具合に見事２次方程式になりましたニャ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

少しわかってきました。

参考書の言葉をそのまま利用しようとしているため、自分の力で考えることができていないのかもしれないなということに気がつくことができました。
２次方程式についてもおおまかにしか理解できていなかったのかもしれないと感じました。
もっと理解をふかめていけたらなと思います。

お礼日時：2012/07/28 09:36

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2012/06/23 12:52

最も素直に考えれば良いのではありませんか

未知の２つの数をx,yとし、与えられた和と積をa,b（a,bは既知)とし

x+y=a　　　　(1)
　
xy=b　　　　　(2)

が成り立っているときx,yを求めればよい。

連立方程式の解き方はいろいろありますが

消去法が簡単です。

(1)より

y=a-x (3)

これを(2)に代入して

x(a-x)=b

すなわち

x^2-ax+b=0　　　　(4)

これに２次方程式の解の公式を適用して

xをもとめればよい。

２次方程式なので解は２つ出てきます。

一つをxとすれば(3)によってyがもとめらえます。

yは二次方程式のもう一つの解になっていることが確かめられます。

もう一つの解をxとすると上の場合の逆になって同じことであることがわかります。

少し洒落たことをやりたければ(4)をじっくり見ることです。

これは２つの数の和aと積bを係数とする二次方程式

t^2-at+b=0 (5)

と同じです。

従ってこの方程式の２つの解がそれぞれx,yであることがわかります。



質問者の混乱は簡単に言うと経験不足、練習不足、実力不足です。

数学は一歩一歩理解を深めていくしかありません。

（数学に王道なし）

混乱したら原点（最も素直な考え方）に戻ることです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
経験不足ですね
私もそうだなと思っています…
積み重ねが大切。そのことが徐々にわかってきました。
もっと経験を積んでいきたいとおもいます。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/07/28 09:24

No.4 回答者： zeta0208 回答日時： 2012/06/23 13:13

２数をα、βとして　和をＡ、積をＢとすると

α+β=Ａ　αβ=Ｂ　と表せる。

まずα+β=Ａより
β＝Ａ－α　であるから
αβ＝α（Ａ－α）＝Ｂ
整理すると
α^2－Ａα＋Ｂ＝０

つまりこの方程式を解くことでα（βも）が求まるということです。

これは解と係数の間には関係があるということを示唆しています。

後にこの「解と係数の関係」について詳しく習いその時に公式もきちんとでてきますので今は関係がありそうだという「つかみ」を理解することでよいと思います。
小学校の時に足し算から掛け算を導いたように、中学になって小さい数字から大きい数字の引き算を習ったように、順番に進んでいきますので今目の前のことを理解するようにしていけば大丈夫ですよ。

話しがそれますけど、僕は小学校の時は足し算すら満足にできませんでした。時計の見方も知りませんでした。（時間と分、秒の関係を理解したのは中一の中間テストあたりでしたよ。）
ただ、一つの饅頭を三等分することは３歳くらいに理解してたとおもうけど。
あまり難しく考えないで頑張ってください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
お返事おくれてすみません。

解と係数の間には関係がある

先があるということを考えながら今をとりくんでいけたらよいなとかんじました。
今ではそのことが少しわかってきました。
参考になりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2012/07/28 09:17