正規部分群を勉強していて思ったのですが、
部分群H、a∈群G に対して
右余剰類 aH と左余剰類Ha が同じ場合
aH=Ha
ですが、
h,h' ∈Hとして
ah=h'aが全てのh∈Hに対して満たされる時、
aH=Haとしていいのでしょうか?
というのも、
∀h∈H ah=h'a
であれば、aH⊆Ha
となるのは明確ですが、
Ha⊆aHをどう証明すればいいのか分かりません。
もし、Hが正規部分群であれば、
ha=a (a^-1ha)=ah'
となり、Ha⊆aH
と出来ますが、ここではそう言った前提ではないため、
簡単にa^-1ha∈Hであるとは言い切れない気もするのですが、
そうでないと、aH=Haと出来なくなってしまいます。
仮にaH=Haと出来ないとすると
ah=h'a
で、もしah1とah2がh'aだとした場合、
ah1=h'a=ah2 => ah1=ah2 => h1=h2
となり、一対一の関係であるといえます。
が、
aHとHaは同じ要素数のはずなので、一体一の関係があるとすれば、
∀ah=h'a
が満たされた場合
hとh'は一体一の関係があるため、aH=Haになると思うのです。(この考え方はあっているのでしょうか??)
しかし、どうしても
Ha⊆aH もしくはa^-1ha∈H であると証明出来ません。。
わかりずらい質問で申し訳ありません。
どなたか分かる方よろしくお願いします。
A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
G の任意の元 a に対して aH⊆Ha が示せたのなら、
a = b^-1 と置けば (b^-1)H⊆H(b^-1) だから
両側から b を掛けて Hb⊆bH です。
「両側から b を掛けて」の意味は、
(b^-1)H⊆H(b^-1) ⇔ ∀h∈H,∃h’∈H,(b^-1)h=h'(b^-1)
と (b^-1)h=h'(b^-1) ⇔ hb=bh' を併せて
(b^-1)H⊆H(b^-1) ⇔ ∀h∈H,∃h’∈H,hb=bh' ⇔ Hb⊆bH
が言えるってこと。
これが G の任意の元 b について言えるのだから、
aH=Ha は成り立ちますね。
H が有限かどうかは問題ではないです。
回答ありがとうございます。
確かに、任意のaであればaH=Haは示せそうです。
ですが、私の疑問は、
もし特定のaでしか
∀h∈H、∃h’a∈Ha ah=h'a∈Ha
が成り立つ、という情報しかなかった場合なのです。
確かに、群Gの中にa^(-1)=bが存在します。
すると仰る通り、
∀h∈H,∃h’∈H,(b^-1)h=h'(b^-1)
が常に成り立ち、
(b^-1)h=h'(b^-1) ⇔ hb=bh'
(b^-1)H⊆H(b^-1) ⇔ ∀h∈H,∃h’∈H,hb=bh' ⇔ Hb⊆bH
となるのは分かります。
ですが、それも
Hb⊆bH
とは示せますが、
Hは正規部分群ではないので、総ての元b∈Gについて上の関係性が成り立つとは限らないので
やはり
Hb⊆bH ⇔ aH⊆Ha
という事しか証明出来ない、つまりaH=Haと明確に保証されない気がします。。
でも、有限であればgraphaffine様の補足に書いたように、必ずそうならないとおかしい気がするんです。
私の理屈の何かが間違っているのか、間違っているとしたらどこが間違っているのか、指摘していただきたいです。
No.4
- 回答日時:
前にも書きましたが、見てもらえなかったのでしょうか。
>h,h' ∈Hとして
>ah=h'aが全てのh∈Hに対して満たされる時、
が、意味不明です。h'は何者ですか。hについてはHの全ての元と書いてありますが、
h'には何の説明も有りません。
想像するところでは、「もし、aha^(-1)が常にHに含まれるならば、常にah=h'aの形に書ける」と言うことを言いたいのかもしれませんが、それであればHが正規部分群であることが前提になってしまってます。従って、aH=Haになるのは当たり前です。
#3のお礼
>aH⊂Haと言えるのは、納得だと思います。
いきなり出て来てわけが分かりません。何処からこういう結論になったのでしょうか。
それから、急に、無限の場合は除外するような話が出てきましたが、有限群が前提ですか。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
私の理解不足で申し訳ありません。
今理解いたしました。
h'というのは、
任意のh∈Hで
ah=h'a
が、成り立つh'∈H がある、というので、
ここで特定のh'というのは、例えばたった一つの元の話ではなく、
どのh'∈Hでも良いが、
ah=h'a が成り立つh'なので、任意ではありません。
そういった意味の”特定”のhのことを仰ってらっしゃったのかと勘違いしていました。
もう一度、整理して質問を書くと、
任意のh∈Hに対して
ah=h'a
が、成り立つようなh'∈Hが、総てのh∈Hに存在する時、
(h'は特定の元のことではなく、ah=h'aに対応するh',だからh1,h2∈H の時、ah1=h'1a ah2=h'2aが成立するh'1とh'2∈Hが存在するということ, h'1とh'2は必ずしも同じとは限らない)
aH=Haと果たして言えるかどうか?
です。
>想像するところでは、「もし、aha^(-1)が常にHに含まれるならば、常にah=h'aの形に書ける」と言うことを言いたい
>のかもしれませんが、それであればHが正規部分群であることが前提になってしまってます。従って、aH=Haになる
>のは当たり前です。
これは、Hが正規部分群と特定しない、と強調するため、
”もし正規部分群であれば、上の証明が簡単に出来るが、正規部分群でなければ {aha^(-1)ではなく}
a^(-1)haが常にHにある、という証明をどうすればいいのかわからない”
と書いたんです。
>aH⊂Haと言えるのは、納得だと思います。
というのは、
∀h∈H ah=h'a∈Ha
なので、aH⊆Ha
だからです。
で、有限群を指名したのは、
補足でも書いた通り、ラグランジュの定理によりaHとHaの要素数が同じであると言えるからです。
つまり、有限群では、
∀h∈H ah=h'a∈Ha
が成り立つ時、
aH⊆Ha
となるが、aHとHaは同じサイズなので
aH=Haとなるんではないか。
だとしたら、
∀h∈H ah=h'a∈Ha
が成り立つ時、
aH=Ha
となり、
a^-1ha∈Hが任意のhについて成り立つはずですが、仰るように
Hは正規部分群ではないのでa^(-1)haやaha^(-1)が常にHに含まれることは保障されないんではないか??
この矛盾はどこから来るのか?何が間違っているのか、というところで今悩んでいるんです。。
勿論、上記の矛盾は、有限群を前提としたものなのですが、
ラグランジュの定理は多分、無限群には適応されないと思うので、
そもそも∀h∈H ah=h'a∈Ha
が成り立つ時、
aH=Haと言う確信が持てません。
なので、有限群の時、と限定したんです。
無限の時、または有限無限関係なく、∀h∈H ah=h'a∈Ha
が成り立つ時、aH=Haが成立する、または必ずしも成立しない、
と証明が出来たらいいんですが、出来ずモヤモヤしたままなのです。
補足で書き忘れたのですが、
つまり、有限群では、
∀h∈H ah=h'a∈Ha
が成り立つ時、
aH⊆Ha
となるが、aHとHaは同じサイズなので
aH=Haとなるんではないか。
というのは、
ah1=h'a=ah2 が成り立つ時
h1=h2でなければいけない、
つまり
ah=h'aは一対一の関係にあると言えると思います。
なので
(ah1=h'1a), (ah2= h'2a), (ah3=....
というように
もし仮にaHが独立したN個要素数があれば
それに対応するh'a∈Haも、独立したN個あるということです。
ですが、Haの要素数自体、aHと同じなのでN個だから、
aH=Haとなるのでは?
という理屈です。
何度も同じことを繰り返してしまいますが
そうなると、
∀h∈H、∃h’a∈Ha ah=h'a∈Ha
が成り立つ時
常にaH=Haと言えることになります。
が、そうなると
ah=h'a∈Ha
=> aH⊆Ha
ha=a(a^(-1)ha)∈aH
も成り立たなければなりません。
つまり、aH⊆Haが成り立つ=>
a^(-1)haが常にHの元である、と言えてしまうのです。
でもHは正規部分群と特定したわけではないにもかかわらず、そうなると
a^(-1)H=Ha^(-1)も同時に成り立つことになります。(aha^(-1)も常にHにあるため)
そんなことがあるのか??
もし何か誤りがあれば何か間違っているのか。。
というのでモヤモヤしています。
No.3
- 回答日時:
>ah=h'aが全てのh∈Hに対して満たされる時、
h'に関する条件が何も書いていないので、どんなHの元hを取っても、特定のh'に対してah=h'aが成り立つ。と読めるけど、勿論そんなことは無いよね。
多分、言いたいことはこんな感じかな。
固定のa及び任意のhを取る。
もし、aha^(-1)が常にHに含まれるならば、常にah=h'aの形に書けるからaH⊂Haが成り立つ。
同様に、a^(-1)haが常にHに含まれるならば、常にha=ah'の形に書けるからaH⊃Haが成り立ち、合わせてaH=Haが得られる。
しかし、Hは正規部分群ではないのでa^(-1)haやaha^(-1)が常にHに含まれることは保障されず、aH=Haも成り立つとは限らない。
なお、念のためですが⊂や⊃は文献によって等号を含む場合と含まない場合がありますが、上では前者の意味で使っています。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
全く仰る通りです。
やはり保証されない、のですか。。
ただここで解せないのが、
質問にも書いたのですが、
もし、任意のh∈Hにおいて
ah=h'a
h'∈H
が常に満たされる場合、
h1 とh2∈H
があってaを掛けた時、
ah1=h'a
ah2=h'a
となるh1とh2が存在したとします。
すると
ah1=h'a=ah2なので h1=h2となります。
つまり、aHとHaは一体一の関係にあることになります。
写像として考えるならば、
写像S:aH→Ha
S(ah)=h'a =ah
つまり、恒等写像とでも言うのでしょうか。
それが一体一の関係にある、ということと同じことだと思います。
ですが、
aHとHa(もし無限でないとすると)はラグランジュの定理により、要素数が同じになります。
要素数が同じで、一体一の関係があるとするならば、
この恒等写像は、全射、と言う事になり、
言い換えるなら、haの恒等写像に対するh'a∈Haが常に一体一で全てのha∈Haに存在する
ということですから、
Ha=aH
となるはずでは。。
でも、仰るようにHは正規部分群ではないのででa^(-1)haやaha^(-1)が常にHに含まれることは保障されず、aH=Haも成り立つとは限らない。
つまり、
Ha=aHと必ずしもなるわけではない。。?
しかし、写像の例えではHa=aHが必ず成り立たなければおかしいはずです。。
一体何が間違っているのかさっぱりわからないのです。、
皆様の意見を参考にずっと考えてみたら、
上の議論をもっと簡単に表現出来ることに気がつきました。
aH⊂Haと言えるのは、納得だと思います。
ですがaHの要素数とHaの要素数は同じはずなので
aH=Ha
になるはずです。
何故なら仮にaH⊂Ha
(ここでは等号を含まない)
とすると、
Haの要素数がaHの要素数を上回ってしまうことになるからです。
ということは、やはり
Ha=aHは常に成り立つ、ということであっているでしょうか??
No.2
- 回答日時:
余剰類でなく、剰余類です。
ま、それはいいとして何を質問しているのか、この文章では判然としません。
aH=Haを仮定して、何か他のものを導きたいのか。それとも、そもそもaH=Haが
示したいことなのか。或いはそれ以外の何かなのか。
aH=Haを仮定して、aH=Haを導こうとしているようにも見えますが、気のせいでしょうか。
前者の場合、導きたいものは何でしょう。
後者は、成り立つための必要十分条件は、Hが正規部分群であることです。但し、これは全てのGの元aに対してaH=Haが成り立つ場合の話ですが、この文章では、特定のGの元aに対しての成立を言ってるようにも取れますね。
どっちなんでしょうか。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
余剰類ではなく剰余類でした。
わかりにくい質問で申し訳ありません。
簡潔に言うと、私の質問は
h,h' ∈部分群Hとして(正規部分群とは限らない)
特定のa∈親群Gがあり
ah=h'aが全てのh∈Hに対して満たされる時、
aH=Haとしていいのか、
そしてその証明が知りたいんです。
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