次の文を読み、以下の問いに答えよ。
質量m1の質点P1、m2の質点P2が互いに力を及ぼしあいながらデカルト座標系(x,y)内を平面運動している場合を考える。この座標系は慣性系であるとする。P1とP2の位置をそれぞれ(x1,y1)及び(x2,y2)とし、P1とP2の距離をrとする。以下では、r≠0である場合に限ることにする。
(問題)位置エネルギーがV(r)=kr^2/2で与えられる場合を考える(kは正の定数)。時刻t=0でのP₁とP₂の位置がそれぞれ(x_0,0)及び(0,0)、速度がそれぞれ(0,v_0)及び(0,0)であったとしよう。ただし、x_0≠0,v_0≠0とする。
(1)相対運動の力学的エネルギーをμ,k、x_0,v_0の内から必要なものを用いて表せ。
(2)相対運動の角運動量をμ,k,x_0,v_0の内から必要なものを用いて表せ。
(3)時刻t>0におけるrの最大値と最小値を求めよ。
教えてください。途中計算もよろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
あまり見慣れない問題なので、私もちょっと自信がないですが、、、一緒に考えてみます。
解いていくためのキーポイントは、
(1)ポテンシャルエネルギが2体の相対距離(r)だけで定義されていますから、座標系をm2と共に”平行移動”する(r、θ)座標で考えて差し支えないだろうこと。
(2)バネ型ポテンシャルなので、2体間にはkrなる引力のみが作用すること。
(3)初期状態のみで決まっている運動で、(相対)初速はθ方向のみであること。
ですね。いろいろと「式で証明」せよということなのでしょうが、、、基本となる運動方程式は、時間微分を「’」で表して、
径方向 ; r”-r・θ’^2=-μr (μ=k/m2 かな?)
周方向 ; r・θ”+2・r’・θ’=0
でしょうか。それで、周方向の式:両辺にrをかけて時間積分すると、r^2・θ’=一定 となるので、角運動量は保存されますね。→問2は角運動量=x_0・v_0 が(未来永劫)保存されます。
次に、径方向の式は、両辺にr’をかけて時間積分し、初期条件を代入すれば、これが力学的エネルギの式になります。
(r’^2+(r・θ’)^2)/2=v_0^2/2+μ(x_0^2-r^2)/2
ですね。左辺が運動エネルギ、右辺第二項がポテンシャルエネルギの変化量を表します。→問1(注;r’=0なのはt=0のみである、という前提にて、この操作をしてます)
それで、この2体は、いわば「自然長がゼロのバネ」で引き寄せられているわけで、言ってみればお互いに「落下」するしかない訳ですし、初速は周方向成分しかありませんから、運動エネルギが位置エネルギに変化することはなく、位置エネルギ→運動エネルギの変化のみが起こります。
従って、rはt=0が最大値(x_0)で、最小値は0でしょう。ただし、r=0となるのは、t→∞のはずです。軌道の形は、きっとブラックホールに吸い込まれるような「渦巻き」ですね。
このくらいの回答でよろしいでしょうか。
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