∃x∀y[y∉x]??

数学の素人なのですが、ある事情で集合論を勉強しようと思って、本を手にとってみたところ

∃x∀y[y∉x]

という数学記号で作られた文章みたいなものが出てきました。
これはどう読めばいいのでしょうか？？
自分なりに解釈し、直訳したところ

”全てのyに対して、yがxに含まれないxが存在する”

みたいな感じなのですが、文章的にも意味が通ってない気がします。。
これの正しい読み方はなんなのでしょうか？

それとこういう書き方はなんと言うのでしょうか？
後、こう言う数学記号？の読み方が学べる本やサイトなどがあれば教えていただきたいです！
よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/07/13 15:27

命題１：∃x∀y[x>y] は「あるxがあって、すべてのyにたいして、x>yをみたす。

」
　あるxがあって、ですから例えばx=10000としてみます、すべてのyにたいして、10000>y　は成立しません。
　じゃあ、もうチョイ増やして、x=100000000としてみます、すべてのyにたいして、100000000>y　は成立しません。
　∃xですから1個でも見つかればよいのですが、どんなxを選んでも、すべてのyの中にはx以上のものがあるので、成立しません。よって、この命題は偽となります。

命題２：∀y∃x[x>y]　は「すべてのyに対して、あるxが存在し、x>yをみたす。」
　すべてのyにたいしてですから、まずy=0で成立するか考えて見ます。x=1なら、1>0　が成立します。
　続いてy=1で成立するか考えて見ます。x=2とすれば、2>1　が成立します。
　yをどんどん大きく場合でも、yが実数ならy+1も実数であるから、xにy+1となるxを選べば、x>y　が成立します。
　yが負のときは、x=0を選んでおけば、x>y　が成立します。
　なので、すべてのyにたいして、あるx（をうまく選ぶことができ）が存在し、x>y　を成立させることができます。　よってこの命題は真

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

分かりやすく解説して頂き、ありがとうございます。
つまり、
命題１は、総てのyに対して絶対的なx>yのxが存在する。つまりxは定数みたいに決まったxが存在する。
でも、そんなxは存在しないから偽。
命題２は、総てのyに対して相対的なx>yのxが存在する。つまりもしy、x∈Zならば、任意のyに対してy+1は存在するので、
y+1=xとすれば、x>yが必ず成立するため真。

ということでしょうか。

記号をちょっと入れ替えるだけで、意味が全然違うとは、、、勉強になります。

お礼日時：2012/07/14 08:57

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/07/13 18:23

>”全てのyに対して、yがxに含まれないxが存在する”

一応あってはいますが誤解を招きそう。

∃xP(x) は Pを真にする x が存在する。
∀yQ(x, y) は全てのyでQが真になる。

なので、全てのyでQが真になる x が存在する
といってしまうと、「全てのyで」がどこまでにかかるかが不明瞭。

適当な x が存在し、そのxでは全てのyでQが真になる
がよいかも。
＃言葉だと不明瞭なので記号化するのですけどね

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

本当ですね！
言葉で説明すると、文字数も多いし情報量が多いと思いきや分かりやすくなるどころか色んな意味に取れてしまい、不明確になってしまいました。
数学書で何故こんな難しい書き方をするのかと疑問だったのですが、そういう事だったんですね。
勉強になります。

お礼日時：2012/07/14 08:59

No.5 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/07/13 00:05

読み方はおいといて、書き方が間違っています。

（カンマの位置が間違っています。）
∃x∀y[y∉x]　これを　”全てのyに対してyがxに含まれないxが存在する。”　こう読みたいならば、
「全てのyに対してyがxに含まれない」xが存在する。こう書かなければいけません。
全てのyに対して、yがxに含まれないxが存在する。こう書いたなら、これは∀y∃x[y∉x]　の事です。
No4さんのおっしゃるように、日本語的に不自然でも頭から素直に読むのが間違えずによろしいかと。
∃x∀y[y∉x]　は　xが存在して，任意のyに対してyはxの要素ではない。

真偽が全く逆になる例を挙げておきます。x,yを実数として
命題１：∃x∀y[x>y]　これは偽です
命題２：∀y∃x[x>y]　これは真です
どっちも次のように書いてしまいがちです。
すべてのyについてx>yをみたすxが存在する。　→命題１のことか２のことか判明つきません。
「すべてのyについてx>yをみたす」xが存在する。　→命題１の事でしょう。
すべてのyについて、x>yをみたすxが存在する。　→命題２の事でしょう。
声を出して読むと違いが分かりません。ですから私なら、ぎくしゃくした日本語になりますが、
命題１は「あるxがあって、すべてのyにたいして、x>yをみたす。」
命題２は「すべてのyに対して、あるxが存在し、x>yをみたす。」
のように書きます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

んー。。難しいですね。。ずっと考えていたのですが、

＞命題１は「あるxがあって、すべてのyにたいして、x>yをみたす。」
＞命題２は「すべてのyに対して、あるxが存在し、x>yをみたす。」

お恥ずかしいのですが、解説してくださった文章でさえ、此等の違いがよく分かりません。。
どちらも、違う言い方で、（あるxが存在する、というところの位置が違うだけで)同じことを言っているような気がします。。。
どのように違うのか、もう一度簡単に説明してくださると嬉しいです。

お礼日時：2012/07/13 13:55

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/07/12 21:24

＞これはどう読めばいいのでしょうか？？

こういうのは頭から順番に考える．
下手に日本語的に考えるとわけがわからなくなる
英語的な語順で考える

There exists x such that for any y, y is not an element of x.
xが存在して，任意のyに対して，yはxの要素ではない

日本語としてこなれてはいないが，
記号からの理解としてはこういう順番が分かりやすい
論理の順番として
xがあって，このxが，任意のyに対してyはxの要素ではない
ということ
まあ、xってのは空集合のことでしょう


順番を変えると
∀y∃x[y∉x]
となるけど
これは
「任意のyに対して，あるxが存在して，yはxの要素ではない」
で，まったく意味が変わる

どんなyをもってきても，yを含まない集合xが存在する
ってことで，全体集合があるのならば
{y}の補集合なんかがこれの例になる．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

分かりやすく解説して頂いてありがとうございます。
英語方式で読めばいいのですね。
頑張ってやってみます。
順番も大切だったのは知りませんでした。
ありがとうございます。

お礼日時：2012/07/13 00:08

No.3 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/07/12 19:09

>∃x∀y[y∉x]

>”全てのyに対して、yがxに含まれないxが存在する”
正しいと思います。

>文章的にも意味が通ってない気がします。。

xは集合，yはその元ですね。
ある集合xがある。どんな元yを持ってきても，yはxの要素ではない。

xを空集合とすると，その通りになるのではないかな。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

yはxの集合の元のことだったのですか！
なるほど。。空集合のことならば理屈に合います。
ありがとうございます。

お礼日時：2012/07/12 23:17

No.2 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/07/12 16:14

No.1です。

ちなみに、読み方はあってますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2012/07/12 23:15

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/07/12 16:08

現代基礎数学15 数理論理学、鹿島亮、朝倉書店、2009.10、3,300円

なんかどうでしょうか？

ちょっと難しいです。ゲーデルの不完全性定理とかまで載っていますが、読み方は丁寧にかかれています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

こういう読み方は、論理学から学ぶものみたいですね；；
少し私には難しそうですが、今度本屋さんに行って試し読みしてきます。

お礼日時：2012/07/12 23:15