No.3ベストアンサー
- 回答日時:
太陽系の惑星が楕円軌道を描くことは,大学初年級力学で学ぶはずです.どんな教科書にも載っています.極座標で結果だけを示すと,
r=l/(1+εcosθ)
この楕円軌道の長軸半径をa,短軸半径をb,面積速度をh/2(=(1/2)r^2dθ/dt)とすると,
(☆)b=h√{a/(GM)}
の関係があります.公転周期Tは
T=(面積)/(面積速度)=πab/(h/2)=2πab/h=2πa^{3/2}/√(GM)=2π√{a^3/(GM)}
となります.これを使って平均角速度
Ω=2π/T=√{GM/a^3}
を定義し,その逆数をとると
Ω^{-1}=(GM/a^3)^{-1/2}
となります.
※☆の導出.解析幾何学によりa=l/(1-ε^2),b=l/√(1-ε^2),Newton力学よりl=h^2/(GM)の関係があるので
b=a√(1-ε^2)=a√(l/a)=√(al)=h√(a/GM)
Newton力学というのは運動方程式の時間を消去すると,
d^2(1/r)/dθ^2+1/r=GM/h^2
と変形されることを言います.この方程式の解は
1/r=Acos(θ-α)+GM/h^2
すなわち
r=1/{Acos(θ-α)+GM/h^2}=l/(1+εcos(θ-α))
と書かれます.ここに
l=h^2/(GM)
ε=Ah^2/(GM)
とおきました.
No.2
- 回答日時:
ケプラー時間はなんだかよくわかりませんが、
これは惑星の角速度の逆数です。a は軌道半径。
遠心力=重力で簡単にもとまります。
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