積分

ｘ＝ｃｏｓｔ、ｙ＝ｃｏｓ２ｔ(０≦ｔ≦Π)の２直線とｘ軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。
媒介変数を用いて解いていき面積は－∫３Π/４からΠ/４までのｃｏｓ２ｔ(ｃｏｓｔ)’ｄｔと言う式を出しました。ここからの計算法が分かりません。模範解答を見るといきなり［(２ｃｏｓ＾３・ｔ／３)－ｃｏｓｔ］のΠ／４から３Π／４までとなっています。どうしてこのようになるのか教えて下さい。とても見にくい質問ですみません。

No.3 ベストアンサー 回答者： shinchan_k 回答日時： 2004/02/13 08:32

#2さんの解法と同じですが・・・

f(x)をaからbまでxについて積分するのを
∫[a,b]f(x)dx
と表すことにします。

-∫[3π/4,π/4](cos2t)(cost)'dt
=∫[π/4,3π/4](2(cost)^2-1)(cost)'dt
=∫[π/4,3π/4](2(cost)^2(cost)'-(cost)')dt
=[(2(cost)^3)/3-cost][π/4,3π/4]

あとの計算はお任せします。
F(x)=∫f(x)dxとすると
∫(f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C
となります。g(x)=uと置換すればすぐに証明できます。

この回答へのお礼

有難うございます。答えが出ました。置換した方が早かったです。

お礼日時：2004/02/22 17:45

No.2 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/02/12 23:33

倍角公式を使って

cos2t=2(cost)^2-1

∫{2(cost)^2-1}(cost)'dt
中カッコを展開して考えてください。
逆に答の式を微分してみると式のつくりが分かりやすい
かもしれません。

わかりにくければ展開しないで
cost=x という置換(というかxに戻すことになりますが)
をしてみてください。

この回答へのお礼

ヒント、ありがとうございます。解いてみます。

お礼日時：2004/02/22 17:43

No.1 回答者： meiv 回答日時： 2004/02/12 22:59

ぱっと見の形は、ti-zuさんが出された式から部分積分法とコサインの半角の公式を使っていく感じだと思うのですが・・・間違っていたらすみません；その方法で出たら、回答させていただきますね。

この回答へのお礼

すみません。有難うございます。

お礼日時：2004/02/22 17:42