力のつりあい

重さＷ(kgs)、長さＬ(m)の一様な棒が、その一端に取り付けられた糸によって、固定点からつるされている。この棒の下端に水平方向の力Ｆ(kgs)を加えて引っ張っり、つりあいの状態を保たせる。


(1)糸及び棒が鉛直線となす角をそれぞれθ、φとすると、θとφの間にはＷ、Ｌの値に無関係な一定の関係式が成立することを証明せよ。

(2)Ｆ=Ｗ/2(kgs)であるとして、糸の張力Ｔ(kgs)及び角φを求めよ。


この問題の解答解説をお願いします(>_<)

No.1 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2012/11/03 22:16

大きさの有る物体の釣り合いを考えるときには

　(1)　物体に働いているすべての力の合力が０であること（力の釣り合い）
　(2)　物体に働いているすべての力のモーメントの和が０であること（モーメントの釣り合い）
を調べます。
(1)は、物体の重心が移動しないこと（並進運動しないこと）
(2)は、物体が回転しないこと
を保証するからです。なお、物体が回転しないときには、任意の点を回転軸とみなして構わないことがわかっていますから、(2)を考えるときには、考えるのが簡単になるように回転軸を設定してしまうことができます。
　
さて、まずは、物体に作用しているすべての力を探し出すことから始めなければなりません。
物体に働いている力は、その物体に接触している物体から加わる力群（ア）、と、物体の重心に加わっている重力（イ）とを考えれば良いでしょう（他に、電磁気力が働いているような場合もありますが、本問ではそのような力は考えなくて良いでしょう）。
　
（ア）の力は
天井からの糸の張力Ｔ（糸の方向に働いています）
　Ｔは、水平方向左向きの成分力、その大きさは　Ｔ・sinθ
　鉛直上向きの成分力、その大きさは　Ｔ・cosθ
横から引く力Ｆ
　水平方向成分力のみで、Ｆの大きさで右向き
（イ）は、棒の中心から下向きに働く重さＷ
です。

(1)　水平方向成分力の合力＝０，　鉛直方向の成分力の合力＝０　が、満たすべき条件です。
　Ｔ・sinθ＝Ｆ
　Ｔ・cosθ＝Ｗ
　
これら２式から
　tanθ＝Ｆ/Ｗ　　式（Ａ）

(2)糸と棒との接点を回転軸として考えるのが良いでしょう。回転軸に働いている力のモーメントは考える必要が無い（そのモーメントは常に０だからです）ので、θを考慮する必要がなくなるからです。
このとき、重力のモーメントＭ1 は
　Ｍ1＝Ｗ・(Ｌ/2)・sinφ　の大きさで、右回り。
ＦのモーメントＭ2 は
　Ｍ2＝Ｆ・Ｌ・cosφ　の大きさで、左回り。
∴　モーメントの和＝０　より
　Ｗ・(Ｌ/2)・sinφ＝Ｆ・Ｌ・cosφ
変形すると
　tanφ＝2・(Ｆ/Ｗ)　式（Ｂ）
２式（Ａ），（Ｂ）を見較べると
　tanθ＝(…)・tanφ
という単純な関係が認められます。
　
Ｆ＝Ｗ/2　のとき
式（Ａ）に代入すると
　tanθ＝…
これは、角度θを鋭角の一つとする直角三角形を思い浮かべてみます。この三角形の、θを挟む２辺の長さの比は、　２：１　で、斜辺は、この比だと√(2^2+1^2)=√５　となるので
　sinθ＝1/(√…)
∴　Ｔ・sinθ＝Ｆ＝Ｗ/2　に再度代入して
　Ｔ＝…[kgf]

また、式（Ｂ）に　Ｆ＝Ｗ/2　を代入すると
　tanφ＝…
∴　φ＝…[°]

この回答への補足

解答ありがとうございます！
加えて質問致します。

(1)はＷ、Ｌの値に無関係な関係式という問題ですがtanθ=Ｆ/Ｗという解答でした。
これはＷが関係しているのではないでしょうか…(-o-;)

補足日時：2012/11/04 00:00

この回答へのお礼

勘違いしてたみたいです(>_<)
すいません…(T_T)

わざわざ分かりやすい解説ありがとうございました！
またお願いします！

お礼日時：2012/11/04 11:41

No.2 回答者： Quarks 回答日時： 2012/11/04 01:00

回答を落ち着いて読みましょう。

回答で(1)と表記してしまったのが誤解の元だったようですが、この(1)は問題番号の１のことではありません。単に、考え方の１番目という意味で付けた番号に過ぎません。
回答の(1)は、力の釣り合いということからわかることを示しているだけで、問題番号１への解答はもっと後ろの方に書いておきましたよ。以下の部分を読んでみましたか？
　
> tanθ＝Ｆ/Ｗ　式（Ａ）
…
>　tanφ＝2・(Ｆ/Ｗ)　式（Ｂ）
>２式（Ａ），（Ｂ）を見較べると
>　tanθ＝(…)・tanφ
>という単純な関係が認められます。
　
>　tanθ＝(…)・tanφ

の部分が、問題番号１への解答になってます。