実数平面上に存在する図形の方程式にて、その図形上の

座標をその方程式に代入した場合、その方程式は必ず０＝０ってなるんですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/21 06:02

円:x^2+y^2=2 上の座標(1,1)を

円の方程式
x^2+y^2=2
に代入すれば
2=2
になりますから、
>図形上の座標をその方程式に代入した場合、
>その方程式は必ず０＝０ってなるんですか？
となりません。つまり正しいとは言えません。

方程式をf(x,y)=0の形に変形してから代入すれば「0=0」となります。
「y=f(x)の形の方程式」や「xy+1=x+yのような「=」の両辺がゼロでない形の方程式」の場合は「0=0」にはなりません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

実数平面上の図形の方程式での図形にて、その方程式を満たす座標をその方程式に代入した場合、必ず０＝０にする事が出来るってことですね？後、成り立っている等式a=bはは必ず０＝０に出来るんですね？

お礼日時：2013/05/21 22:59

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/22 11:42

No.1です。

ANo.1の補足の質問の回答

>実数平面上の図形の方程式での図形にて、その方程式を満たす座標をその方程式に代入した場合、必ず０＝０にする事が出来るってことですね？後、成り立っている等式a=bはは必ず０＝０に出来るんですね？

その通り。
陰関数形式の等式a(x,y)=b(x,y)であっても
陽関数形式の等式a=y=b(x)であっても、方程式の右辺を左辺に移項して
　a-b=0　...(※)
と変形しておけば
等式で表される図形の方程式を満たす座標を(※)の
等式に代入すれば
　0=0
とできます。

この回答へのお礼

そうなんですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/05/29 00:30

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2013/05/22 22:26

「f(x,y)=0がある図形Fの方程式である」とはどういうことかというと、

Fは f(x,y)=0が成立つような点(x,y)の集合
　F = {(x,y) | f(x,y)=0}
である。

ということ。
　なので、その図形F上の座標(x,y)（つまり (x,y)∈F ）をf(x,y)に代入したら0になる。f(x,y)=0が成立つような点(x,y)を集めたのがFなんだから、当たり前です。

この回答へのお礼

図形F上の座標(x,y)⇔(x,y)∈F
という同値関係が成り立つんですね。知りませんでした。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/05/29 00:36

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2013/05/29 15:57

ANo.3 についてです。

　とてもよくお分かりのようなので、もうひとつ、重要な用語をご紹介しましょう。

　f(x,y)=0が成立つような点(x,y)のことを「方程式f(x,y)=0の解」と呼びます。「解」と書いてカイと読みます。「方程式f(X)=0を解け」と言われたら、それは「方程式f(X)=0の解の集合Fを具体的に求める」ということです。これはf(x,y)=0という形の式だけに限定される話ではありません。たとえば「方程式x^2=1を解け」と言われたら、答は{-1, 1}ですね。（「x=-1,1」という答の書き方は、「x∈{-1, 1}」をちょっとだけ省略して書いているに過ぎません。）

　ある集合Vの要素z(z∈V)であって、ある述語Qを満たすようなものzのことを、「（Vにおける）Qの解」と呼びます。また、そのようなz全部の集合、すなわち { z | z∈V and Q} を「（Vにおける）Qの解の集合」と呼ぶんです。ご質問のタイトルにある「実数平面上に存在する」という文言は、「V=R×Rである(Rは実数全体の集合)」ということを指定していますね。なのでこの場合、Vの要素zとは、二つの実数でできたペア(x,y)（x∈R and y∈R）のことです。

　「述語Q」というのは論理学の用語で、「Qは（zを自由変数(∀や∃で束縛されていない変数)として含む）論理式だ」ということです。述語Qはしばしば、「関係式」とか「条件」とも呼ばれます。
　ですから、Qは等式に限ったもんじゃありません。Qが不等式（たとえば x^2+y^2 ≦ 1 ）であっても「(1/2, 1/2)は（Vにおける）Qの解である」だとか「（Vにおける）Qの解の集合{(x,y)| (x,y)∈V and x^2+y^2 ≦ 1} 」という表現は使えます。もちろん、この例では解z=(1/2, 1/2)を不等式Qに代入すると、（「0=0」という形は出てきませんが、）真である命題「1/2 ≦ 1」が得られる訳です。
　さらに、Qがいくつも式を組み合わせて出来ている場合（たとえば、(x^2+y^2 ≦ 1 and 2x=y) or x≧0）であっても、話は全く同じです。
　
　ところで、『(Vにおける)ある述語Qの解に注目する』という状況（文脈）において、特にQが等式である場合、Qは「方程式」と呼ばれます。また、Qが「等式Q[1] and 等式Q[2] and, …, and 等式Q[n}」という形をしている場合にはQは「連立方程式」と呼ばれます。
　つまり、「(Vにおける)方程式f(x,y)=0の解」という言い回しは、「方程式 ○○○ の解」というひとつの用語があるわけではない。たんに「f(x,y)=0は見ての通り等式だよね。（その解に注目したい。）で、(Vにおける) f(x,y)=0の解」と、複数のことをハショって言っているだけなんです。