累積分布関数

ランダムベクトル(random vector) (X,Y)の結合密度関数(probability density function)が以下で与えられています。
f(x,y)=c( x^{2} - y^{2} )e^{-x} -x≦y≦x,0<x<∞
=0(その他)

X=xで与えられるYの累積分布関数(conditional distribution function)を示してください。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/02 19:56

c は定数かな？

全確率について、1 = ∫[0<x<∞]∫[-x≦y≦x]c(x^2-y^2)(e^-x)dydx = 8c
なので、c = 1/8.

「X=x で与えられる Y の累積分布関数」てのが、いまいち意味不だけれど…


X については密度、Y については累積分布であるような
関数 F(x,y) を求めたいのなら、単に積分して、

y<-x のとき、F(x,y) = 0.

-x≦y≦x のとき、
F(x,y) = ∫[-x≦t≦y]c(x^2-t^2)(e^-x)dt
= (1/8){(1/3)(2x-y)(x+y)^2}(e^-x)
= (1/24)(2x-y){(x+y)^2}(e^-x).

y>x のとき、
F(x,y) = (1/24)(2x-x){(x+x)^2}(e^-x)
= (1/6)(x^3)(e^-x).


あるいは、条件 X＝x の下での Y の条件付き累積分布関数
FY(X=x|y) を求めたいのなら、

y<-x のとき、FY(X=x|y) = 0.

-x≦y≦x のとき、
FY(X=x|y) = ∫[-x≦t≦y]c(x^2-t^2)(e^-x)dt / ∫[-x≦t≦x]c(x^2-t^2)(e^-x)dt
= ∫[-x≦t≦y](x^2-t^2)dt / ∫[-x≦t≦x](x^2-t^2)dt
= {(1/3)(2x-y)(x+y)^2} / {(4/3)x^3}.
= {(2x-y)(x+y)^2}/(4x^3).

y>x のとき、FY(X=x|y) = 1.

No.1 回答者： noname#180909 回答日時： 2013/07/02 18:37

cは何ですか？