円の面積を積分で求めたい

現在高校３年生で、数学をいまいち分かってないですが好きな人です。
積分で求積を習い、x^2+y^2=r^2　の円の面積Sが　Πr^2　になることを示したくなりました。

円の中心からxだけ離れた点を通る中心（0,0）の円の円周を積分して
S=∫[0→r]2Πxdx
=Πr^2

と出てきて納得したのですが、第一象限だけ求積して４倍しようとして
円を横に切って考えてみようとしました（表現下手ですみません）。
すると長さが極座標で（r,θ）のとき　rcosθ　になって、
S=4∫[0→Π/2]rcosθdθ
=4r(sinΠ/2 - sin0)
=4r(1-0)
=4r

となってしまいました。
自分では確かにθのときの長さを出していると思っているので
なぜ求積できないかが分かりません

どこが間違っているか指摘していただけないでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： berokanda 回答日時： 2013/07/14 19:09

その考え方だと、

S=4∫[0→r]rcosθdy
（あるいは4∫[0→r]xdy）
ではないでしょうか。

y=rsinθと変数変換すると、
S=πr^2になります。

この回答へのお礼

[0→π/2]でやってみたら出来ました！
dθにしていたのがマズかったのでしょうね。
ありがとうございました！

お礼日時：2013/07/15 17:46

No.9 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/15 10:34

←No.7

A No.6 冒頭に書いているのは、
S = ∫dS が正しいかどうかじゃなく、
dS を dr 入りの式で書いたその式が
正しいかどうかに、図形的直観以外の
説明が必要ってことだよ。
dS も、dr も、図には描けないのだから。
微小な dS が積分して S になるように、
式の微小な誤差も、積分すると微小でなくなるから、
dS = なんたら が直観的近似で成り立つ
というのは、何の説明にもならない。

No.8 回答者： Water_5 回答日時： 2013/07/15 09:12

むかし

l＝２πｒ
S=πｒ＾２
の公式を公式として習った。

これらの公式は積分でもとまる。
しかし、チャッカリと”π”が居座っており。
しゃくぜんとしない。

”π”は無理数で超越数で、現在は２０兆桁が知られている。
永久に結論が出ない謎の数字だ。

こんなものを頭ごなしに持ってくる今の教科書は
おそろしい。

ｄSって何ですか？

No.7 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/07/15 08:51

http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/g …

高校範囲外ですが、理系ならこのくらいは知っていたほうがいい。
要するに「定積分は和」であり、どんな切り方でもdSを集めればSになるということ。

この回答へのお礼

興味深いURL紹介ありがとうございます！
じっくり理解して自分の糧にしていきたいとおもいます！

お礼日時：2013/07/15 17:53

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/15 03:12

∫2πrdr のほうは、何故それが面積になるのか

を説明しないと、流石にマズイだろうが、
4∫xdy のほうは、A No.1 のように正しく計算
すれば、問題ないように思う。

A No.4 の議論が出てくるのは、
採用した sin の定義がマズイからで、
単位円の弧長を求める積分で arcsin を定義し、
その逆関数として sin を、
arcsin(1) = π/2 で π を定義すれば、
質問の方針に循環論法は生じない。

この回答へのお礼

うーむこの疑問にあたって逆三角関数を調べましたが
いまひとつ分からなかったですorz
大学に行って理解したら
そのうえでまた考えてみたいとおもいます！
貴重なヒントありがとうございます。

お礼日時：2013/07/15 17:50

No.5 回答者： Water_5 回答日時： 2013/07/14 21:42

スーパーコンピューターでも円の面積は

求められない。

No.4 回答者： uen_sap 回答日時： 2013/07/14 21:36

微小長方形の面積が

r*cos(θ)*dθが間違い。

長方形の長辺(横辺)がr*cos(θ)となりますが、
微小辺(縦辺)はr*(sin(θ+dθ)-sin(θ))
則、r*cos(θ)*dθ　となります。

ただ、円の面積を求積で求めると言うことには問題があるように思います。
数学の専門家のご判断を頂きたい。
理由：
この積分では　sin(θ)/θの極限(θ→0)が1であることを暗黙に使っています。
この極限が1であることと円の面積がπ*r^2であることは同値ですから。
円の面積がπr^2であることの照明に円の面積がπr^2であることを使用していることになり、証明になっていません。

この回答へのお礼

なるほどーと思うことができました。
これに当たる前にリミット使って出したのを思い出して
たしかにこれでは証明としてはダメなのかなーとわかった気がします！
ですが最後はπr^2がでたのでスッキリです！
ありがとうございました。

お礼日時：2013/07/15 17:48

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2013/07/14 21:11

＞Πr^2は積分では出ないと思うけど。

そうでしょうか。
質問者さんの方法が正しいかどうかはともかく、
円の面積が積分で求まらない、というのは
筋が違うような気がします。

No.2 回答者： Water_5 回答日時： 2013/07/14 20:33

高校生ですか。

気持ちはわかるが
Πr^2は積分では出ないと思うけど。

中学生か高校生の頃、円の公式として習ったような気がする。
積分で出した記憶がありませんが。