数学 三角関数の応用

以下の問題の解説を教えてください。
恐縮ながら、細かく解説していただけると幸いです。

0≦θ＜2πのとき、方程式4sin＾2θ-4cosθ-5+a=0の解の個数を、定数aの値によって分類せよ。

宜しくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/09 20:07

二次方程式の解の分離ですね。

x = cos θ と置くと、
-1 ≦ x ≦ 1 かつ 4(1-x^2)-4x-5+a = 0
の解を考える問題になります。
注意するのは、
x = ±1 に対応する θ は各一個づつ
それ以外の x に対応する θ は各二個づつ
であること。　←[*]
A No.2 のミスは、この点ですね。

f(x) = 4x^2 + 4x + 1, -1 ≦ x ≦ 1
のグラフを書いて、f(x) = a となる x の数え、
[*] を考慮して θ を数えれば、答えになります。

a < 0 のとき、x が 0 個で θ も 0 個、
a = 0 のとき、x が 1 個で θ は 2 個、
0 < a < 1 のとき、x が 2 個で θ は 4 個、
a = 1 のとき、x が 2 個で θ は 3 個 (一方の解が x = -1)、
1 < a < 9 のとき、x が 1 個で θ は 2 個、
a = 9 のとき、x が 1 個で θ は 1 個 (解が x = 1)、
a > 9 のとき、x が 0 個で θ も 0 個、
です。

添付図を参考に：

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
わかりやすかったです。
グラフも添付してくださり、ありがとうございます。

お礼日時：2013/08/17 15:13

No.3 回答者： k14i12d 回答日時： 2013/08/09 16:22

#2間違えました。

#1の方のが正解です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2013/08/17 15:12

No.2 回答者： k14i12d 回答日時： 2013/08/09 16:20

与式のsinの項は4(sinθ)^2 でよろしいでしょうか？

この項を1-cos^2に直して、
(与式)⇔4(cosθ)^2 +4cosθ +1=a
⇔(2cosθ+1)^2=a
ところで、0≦|cosθ|≦1より、
0≦|2cosθ|≦2から、0≦|2cosθ+1|≦3よって0≦(2cosθ+1)^2≦9
以上より、
a<0、9<aで解なし。
a=0、9で1つの解を持つ。
0<a≦1で4解を持つ。
1<a<9で、2解をもつ。
最後の不等式を考えるときは、グラフまたは単位円で考えましょう。
絶対値で場合わけするよりらくです。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/09 16:14

左辺=a+(4sin＾2θ-4cosθ-5)=a-(4cos^2θ+4cosθ+1)=a-4(cosθ+1/2)^2

なので
　4(cosθ+1/2)^2=a
の0≦θ＜2πの解の個数を調べれば良い。
y=4(cosθ+1/2)^2の0≦θ＜2πにおけるグラフは
添付図のようになる。
このグラフとy=aのグラフの0≦θ＜2πでの交点数が方程式の数と一致するから、このθの区間での交点数を調べれば良い。
a<0またはa>9の時 0個
a=0の時 2個　(θ=2π/3,4π/3)
0<a<1の時4個
a=1の時 3個 (θ=π)
1<a<9の時 2個
a=9の時1個 (θ=0)
となります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
グラフも添付してくださり、ありがとうございます。

お礼日時：2013/08/17 15:11