多項式環の問題です。どなたかよろしくお願いします。

多項式環の問題です。どなたか教えていただければ幸いに存じます。

R:=k[x,y] k:体
I:=(x^5-y^2)をRの単項イデアル

ψ:R→k[t] (ψ(a)=a (a∈k) ψ(x)=t^2 ψ(y)=t^5)　とする。

(1)I=kerψを示せ。

(2)IはRの素イデアルである事を示せ。

(3)剰余環R/Iの商体が有理関数体k(t)と同型である事を示せ。

です。(1)から分からなかったです。もちろん、I⊂kerψはわかるのですが…

よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： ramayana 回答日時： 2013/08/15 22:03

ψは環準同型なんでしょうね。

（１）のヒントだけ示します。（２）と（３）は簡単でしょう。

F(x,y) を kerψ の元とする。F(x,y) と x^5-y^2 を y の1 変数多項式とみて、F(x,y) を x^5-y^2 で割り算すると、

F(x,y) = u(x,y)(x^5-y^2) + v(x)y + w(x)

となる。 v(x) と w(x) は、x の有理式。u(x,y) は、x について有理式、y について多項式。v(x) 、w(x)、u(x,y) の分母の最小公倍多項式を G(x) とすれば、

G(x)F(x,y) = U(x,y)(x^5-y^2) + V(x)y + W(x)
U(x,y) = G(x)u(x,y)、V(x) = G(x)v(x)、W(x) = G(x)w(x)

となる。ここで、V(x) = W(x) = 0 を示せば、そのあとは簡単でしょう。