図形の面積比の問題です

明日テストなのにどうしても先生がくれた答えと違う答えが出てきて困っています。
数学の得意な方やり方を教えて下さい。

四角形ABCD(左上から反時計回りに）があります。ＡＢ上に辺が四等分になるように上から
ＥＦＧをとり，辺ＢＣ上に辺が３等分になるように左からＨＩをとり，辺ＣＤ上に辺が二等分になるように点Ｊをとり，辺ＤＡ上に辺が三等分になるようにＫＬをとります。点ＦＨ，点ＩＪ，点ＪＫ，点ＫＥをそれぞれつなぐと四角形ＡＢＣＤの中に六角形ＥＦＨＩＪＫが出来ます。
この時の四角形ＡＢＣＤと六角形ＥＦＨＩＪＫの面積の比を求めなさい。という問題です。

答えは３：２と教えてもらいました。

例えば三角形それぞれの辺の中点を結んで三角形が4つ出来る様にして全体の三角形の比と真ん中の三角形の比を求めるやり方は，真ん中の小さい三角形の面積は外側の三角形の面積（１／２と１／２をかけて１／４を出してそれを3つ足した３／４を全体の１から引いて１／４と出す）と全体の１の比で考えて全体面積：真ん中の三角の面積＝１：１／４＝４：１になるという事は分かります。

でも上の四角形と六角形の問題を同じやり方でやってみるとどうしても答えが３：１になってしまい先生が教えてくれた答えの３：２になりません。どなたかどうして３：２になるのかやり方を教えて下さい。
どうか宜しくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/10/14 11:06

お答えしますね。

左の図で、アは三角形ABDの1/6ですね。また、イは三角形BCDの1/6ですね。
とすると、ア＋イは三角形ABD＋三角形BCDの1/6になります。つまりア＋イは四角形ABCDの1/6になるのです。ここが大切なのですが理解できますか。よく考えてみて下さいね。
因みに、この問題ではアもイも同じ1/12になっているので答えが出せるのです。この数が異なっていると答えは出せません。

同様に右の図で、ウは三角形ABCの1/6ですね。また、エは三角形ACDの1/6ですね。
とすると、ウ＋エは三角形ABC＋三角形ACDの1/6になります。つまりウ＋エは四角形ABCDの1/6になります。

ア＋イが四角形ABCDの1/6、ウ＋エは四角形ABCDの1/6ですから、ア＋イ＋ウ＋エは四角形ABCDの1/6＋1/6で1/3になりますね。とすると六角形EFHIJKは四角形ABCDの2/3ですから、四角形ABCDと六角形EFHIJKの面積比は３：２になるのです。

以上ですがいかがでしょうか。

この回答への補足

非常に良く理解でき納得出来ちゃいました。何度も回答して頂いて有難うございます。
なんか胸がすっとしました　！(^O^)！

補足日時：2013/10/16 14:58

この回答へのお礼

場所がわからず補足のところにお礼を書いてしまいました。すみません。

非常に良く理解でき納得出来ちゃいました。何回も回答して頂いて有難うございます。
なんか胸がすっとしました句点　！(^O^)！
少しだけ図形が好きになりまし。

お礼日時：2013/10/16 15:01

No.3 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/10/13 13:48

No.1及び２です。

考え直してみて気づいたのですが、確かにただの四角形でも答えが出せますね。私がうっかりしていました。ただ今日は解説を書いている時間がありません。明日か明後日には書きますから少しだけお待ちいただけますか。

No.2 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/10/11 13:06

1/2は公式として覚えるのではなく、理屈で理解しましょう。

長方形、正方形、平行四辺形の場合は、対角線を引けば面積が二等分されますね。だから1/2なのです。
ご質問の問題で言うと、長方形ABCDの面積の1/2が三角形ABDの面積で、三角形ABDの面積の1/6が三角形AEKの面積になりますね。だから1/2×1/6で1/12なのです。
一方、そうでない四角形の場合は、対角線を引いても面積が二等分されませんね。だから答えを出すことはできません。
添付した図を見ていただければわかると思いますが、左の長方形は二つの三角形の面積が同じですね。一方、右の四角形はどう見ても面積が同じではないでしょう。何分のいくつかわかりませんね。だから答えが出せないのです。
学校の先生が出された問題はどんな四角形だったのでしょう。
気になるようなら補足でお知らせ下さい。

この回答への補足

回答有難うございます。

学校の四角形の面積比のテスト問題は１/２をかけることでなんとかできました。

また学校のテスト問題は長方形や平行四辺形ではなくredgarberaさんが書いてくれた右の方の単なる四角形でしたのでイマイチ理屈が分からなかったけれども教えていただいた方法でなんとか答えを書く事ができました。

ただ出来ればまたこのような問題が出てきた時に悩まないようにきちんと理屈を知りたいと思っています。本屋さんでも色々な本を立ち読みしましたが納得の行く回答がなかったので出来れば教えて貰えると助かります。よろしくお願いします　

補足日時：2013/10/11 18:38

No.1 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/10/10 11:56

四角形ABCDを長方形として説明しますね。

そうしないと答えは出せません。

三角形AEKは長方形ABCDの何分のいくつでしょうか。
まず対角線DBを引きます。すると三角形ABDは長方形ABCDの1/2になります。
次に、三角形AEKは三角形ABDの何分のいくつかを考えます。これはあなたが書いていた方法で解けますね。1/4×2/3で1/6です。
とすると三角形AEKは長方形ABCDの何分のいくつでしょうか。1/2の1/6で1/12になりますね。
この方法で他の三角形も出し、その和を１から引けば六角形の面積が長方形の面積の何分のいくつになるかが出ます。

もとの図形が三角形の場合はあなたが書いていた方法でいいのですが、長方形や正方形、平行四辺形の場合は1/2を忘れないようにしましょう。

わかりにくいところがあったら補足をつけて下さいね、

この回答への補足

さっそくの回答をありがとうございます。
長方形での面積比のやり方はとても良く理解できました。正方形や平行四辺形の時も1/2に気をつけてやりたいと思います。なんか明日が少し楽しみになりました。

でもどうして三角形の時はそのままで良くて長方形や正方形、平行四辺形の場合は１/２をつけないとダメなのでしょうか？

書いて貰った絵を見ると１/２をしなくてはならないのがとても良く理解できるのですが、学校の先生のような単なる四角形だと１/２をしなくてはならないのがいまいちイメージ出来なくて、やり方は分かったのに納得出来ているようないないような・・・
出来れば納得しておいた方が次に進むのに良いような。無理やりに暗記すれば良いのか分かりません。

何か1/2について納得し易い方法があればまたまた教えて貰えるともっと自信がつきます。
図形が苦手で苦手で変な質問をしてすみません。

補足日時：2013/10/10 16:28