ベクトルの重心

三角形ABCの重心をGとすると、
AGベクトル＝ABベクトル＋ACベクトル／3
と書いてあるのですが、なんだかしっくりきません。
どうしてこの式が成り立つのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： tomokoich 回答日時： 2011/06/19 12:24

BCの中点をMとすると

AM↑=AB↑+BC↑/2
また
AG↑=2AM↑/3より（Gは重心なのでAMを2:1に内分しているので）
=(2/3)×(AB↑+BC↑/2)
=2AB↑/3+BC↑/3

BC↑=BA↑+AC↑より
AG↑=2AB↑/3+(BA↑+AC↑)/3
=2AB↑/3-AB↑/3+AC↑/3
=AB↑/3+AC↑/3

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

意外と簡単なことだったんですね！
もう少し自分で踏み込んで考えるべきでした。
やっとすっきりしました、ありがとうございました！

お礼日時：2011/06/19 13:10

No.2 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/06/19 12:35

しっくり来ないですか？

1/3が1/2なら辺BC上に来てしまいます
それは重心として変です

1/4ならABとACの中点を結んだ線上になり
三角形ABCとAと中点を結んだ三角形の面積比が4:1になるので重心としてちょっとAによりすぎかなと思います

1/3なら同じような計算で、三角形の比が9:4でそれくらいかと私は思います

重心の定義をまじめに計算するときの根拠にはならないですが、しっくりいかないということなので…

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

確かに1/2では不自然ですが、『見た目が不自然だから』という理由で、しっくりくる1/3にするのは、数学的には納得出来なかったのです。

お礼日時：2011/06/19 13:09